• spiaggia
• molo
• onde

I primi studi sulle onde marine sono stati effettuati durante il diciannovesimo secolo da alcuni matematici francesi, come Lagrange, Cauchy e Poisson, e da altri fisici matematici inglesi, quali Airy, Stokes, Kelvin, Rayleigh e Lamb. In seguito, le soluzioni di molti problemi per onde superficiali sono state ottenute intorno alla metà del ventesimo secolo. In questa tesi vengono proposti due problemi riguardanti il comportamento delle onde marine all'avvicinarsi della terraferma, che nel primo caso è rappresentata da una spiaggia, mentre nel secondo da un molo. Ciascuno di questi è ricondotto ad un problema differenziale con condizioni al contorno, che ha come equazione differenziale l'equazione di Laplace. Imponendo determinate condizioni in mare aperto, si ottengono le soluzioni esplicite, sfruttando tecniche che chiamano in causa la teoria elementare di analisi complessa e l'uso della trasformata di Fourier.
Il primo capitolo presenta la teoria di base relativa al moto ondoso. Si presuppone che il fluido sia ideale con flusso irrotazionale, e si ottiene che il potenziale delle velocità soddisfa l'equazione di Laplace e inoltre vale la legge di Bernoulli. Vengono introdotte le condizioni al contorno dovute alla presenza per la massa d'acqua di vincoli fissi (come il fondale o la spiaggia) o di vincoli mobili (la superficie). In seguito, viene enunciato il problema delle onde superficiali, e si osserva che basta considerare onde di piccola ampiezza. Infine, viene esposta la teoria "shallow water", dove si ottiene la soluzione approssimata nel caso di basse profondità: per il problema della spiaggia questa soluzione sarà una combinazione lineare di funzioni di Bessel di ordine zero.
Il secondo capitolo tratta il caso del mare aperto, per profondità costante finita o infinita. In dimensione due, le soluzioni per onde stazionarie possono essere ottenute esplicitamente in entrambi i casi per profondità finita h. Nel caso tridimensionale, invece, si trovano le soluzioni per onde stazionarie a simmetria cilindrica e per profondità infinita. Si osserva che, in certi casi, servirà ammettere che le soluzioni presentino singolarità con andamento logaritmico. Infine, le onde progressive per ciascun problema saranno determinate attraverso un'opportuna combinazione lineare delle soluzioni per onde stazionarie.
Il terzo capitolo tratta in dettaglio il problema della spiaggia. In primo luogo si considera il caso bidimensionale di una spiaggia con pendenza costante; sfruttando l'analisi complessa si trovano due soluzioni, una regolare e una con singolarità logaritmica, e la soluzione generale sarà combinazione lineare di esse. Il comportamento di queste soluzioni a grande distanza dalla costa è in buona approssimazione lo stesso che nel caso del mare aperto. Inoltre, si trovano diverse rappresentazioni asintotiche del problema per angoli piccoli: ciascuna di esse approssima in modo opportuno il comportamento delle soluzioni vicino alla terraferma o in mare aperto. Passando, al caso tridimensionale, si trovano sempre due soluzioni, una regolare e una singolare, ma solo nella forma di un integrale di linea nel piano complesso. Comunque, il comportamento delle soluzioni in prossimità e a grande distanza dalla costa è lo stesso che nel caso bidimensionale.
Nel quarto e ultimo capitolo, si passa allo studio del problema del molo, che per semplicità è considerato di lunghezza infinita. Il primo caso in esame è il problema bidimensionale con profondità infinita, dove le soluzioni sono le parti reali di integrali di linea nel piano complesso. Tramite l'utilizzo delle proprietà della funzione di Green e della trasformata di Fourier, si arriva anche ad ottenere le soluzioni del problema tridimensionale con profondità finita. In entrambi i casi, il comportamento delle soluzioni a grande distanza dal molo si avvicina a quello nel mare aperto.