• Algebra Max-Plus
• inviluppo di Snell
• funzione di utilità
• ordine stocastico concavo

In questa tesi, ci occupiamo di risolvere una classe di problemi di
Finanza matematica nei quali è necessario avere un portafoglio che
abbia sempre valore maggiore di una barriera data dal mercato, detta
ostacolo. È questo il caso di un portafoglio di copertura di
un'opzione americana, dell'assicurazione di portafogli o in generale
di situazioni in cui il mercato imponga vincoli, per esempio di tipo
legale. L'investitore deve essere in grado, in ogni istante, di
corrispondere a chi ha acquistato l'opzione o a chi ha assicurato il
portafoglio il suo valore attuale, o in generale di non infrangere
alcuna regola. Se il portafoglio avesse un valore troppo basso,
sarebbe necessario aggiungere capitale; per tutelarsi da questa
evenienza, è quindi opportuno seguire una strategia che permetta di
avere un portafoglio con valore sempre sufficientemente grande.
Inoltre, una volta soddisfatto questo vincolo, è auspicabile cercare
la strategia ottimale, che permetta cioè di ottenere il maggior
guadagno possibile. Supporremo che il mercato sia completo e senza
opportunità di arbitraggio.\par Dal punto di vista matematico, si
modellizza un mercato come un processo stocastico a valori in
$R^ extrm{d}$, che rappresenta il modo in cui i prezzi siano
soggetti a variabilità. Di conseguenza, anche l'opzione da coprire,
o in generale l'ostacolo, è rappresentato da un processo stocastico.
Le ipotesi fatte sulla natura del mercato ci consentiranno, a meno
di cambiare misura di probabilità, di ricondurci a una situazione in
cui tutti i portafogli autofinanziati sono delle martingale. par
Per rappresentare la condizione di ottimalità, bisogna considerare
che ogni investitore ha una disponibilità diversa ad assumersi dei
rischi con la prospettiva di un guadagno, che varia con l'ammontare
del capitale investito: esiste cioè una funzione che associa al
valore del portafoglio un'utilità per l'investitore. Trovare il
portafoglio ottimale significa allora in termini matematici trovare
la martingala tale che se la si compone con la funzione di utilità
si ottiene un processo con speranza massima. Il problema consta
dunque di due parti:
egin{enumerate}
item [1)] definire l'insieme $mathcal{M}$ delle martingale che dominano un processo dato (l'ostacolo);
item [2)] trovare la martingala ottimale (rispetto alla funzione di utilità) di questo insieme.
end{enumerate}
par La prima parte viene fatta utilizzando la teoria degli inviluppi di
Snell. par La seconda parte invece viene risolta utilizzando al
posto dei numeri reali l'algebra Max-Plus $R_{max}$, cioè
$Rcup{-infty}$ dotato delle operazioni $max$ e $+$. In questo
semicampo, sarà costruita una decomposizione per supermartingale
simile a quella di Doob-Meyer, effettuata però rispetto
all'operazione $max$:
$$M^{MP}_tgeqmax(Z_t,A_t) ,$$ per una data supermartingala $Z$
e con un opportuno processo opzionale $A$. Applicheremo questa
decomposizione all'inviluppo di Snell dell'ostacolo, ottenendo così
il portafoglio candidato a essere ottimale.par Per dimostrare che
si tratta effettivamente della scelta migliore, faremo vedere come
da ipotesi naturali sulla funzione di utilità si ottenga che essa è
concava. Utilizzeremo quindi l'ordine stocastico concavo
$leq_{cv}$, che ordina un insieme di variabili aleatorie
${X_i}_{iinLambda}$ nel senso che
$$X_ileq_{cv}X_jquad extrm{se}quadforall f:R
ightarrowR extrm
{ concava}quadE[f(X_i)]leqE[f(X_j)] ,$$ se $E[f(X_i)]$ è
definito, e dimostreremo che la martingala $M^{MP}$ è la martingala
più grande rispetto a questo ordine.par Nella parte finale, ci
occuperemo di mostrare come sia possibile con questo metodo svolgere
calcoli completi per ricavare esplicitamente la strategia ottimale.
Questo nostro metodo ha il vantaggio di poter essere applicato fino
al risultato esplicito anche con ipotesi sulla funzione di utilità
quasi inesistenti: questo significa poterlo applicare a quasi tutte
le preferenze di investimento pur senza conoscerle in dettaglio.
Osserviamo infatti che la funzione di utilità personale, in quanto
caratterizzante le scelte di un investitore, spesso non viene
dettagliatamente esplicitata.