• foliazioni
• superfici
• omeomorfismi
• Nielsen-Thurston

Nella tesi viene dimostrato un teorema, dimostrato da William Thurston, che successivamente ha scoperto che parte del suo lavoro era già stata svolta da Jakob Nielsen, che
permette di classificare le classi di isotopia di omeomorfismi di superfici chiuse e orientabili in almeno uno di tre tipi: periodici, riducibili e pseudo-Anosov. Nel caso periodico, una potenza dell'omeomorfismo è l'identità; nel caso riducibile, una o più curve vengono mandate in loro stesse dall'omeomorfismo, che può quindi essere studiato sulle superfici topologicamente più semplici ottenute rimuovendo tali curve; nel caso pseudo-Anosov, in quasi ogni punto esistono due direzioni in cui la superficie viene rispettivamente allungata e ristretta.
Nella prima parte, dopo aver ricordato dei fatti utili sulle strutture complesse e iperboliche,
vengono introdotti gli strumenti fondamentali per la dimostrazione: le foliazioni misurate, che tra le altre cose permettono di descrivere in modo rigoroso in che modo agiscono gli omeomorfismi pseudo-Anosov, e i differenziali quadratici olomorfo, una sezione di un particolare fibrato vettoriale complesso che definendo in modo naturale una coppia di foliazioni misurate permette di applicare gli strumenti dell'analisi complessa per ottenere risultati topologici.
I due capitoli successivi sono dedicati ad utilizzare tali strumenti per trovare, in ogni classe di isotopia, un unico omeomorfismo che minimizzi la dilatazione, cosa che permette di studiare l'azione degli omeomorfismi sullo spazio di Teichmüller, e di definire una metrica su di esso e sullo spazio quoziente per tale azione, lo spazio dei moduli.
Infine vengono descritte esplicitamente le tre classi di omeomorfismi possibili, prima nel caso più semplice del toro, poi per superfici di genere maggiore, e poi, studiando l'azione di una classe di omeomorfismi come una particolare isometria iperbolica dello spazio di Teichmüller, viene dimostrato che ognuno di essi è di uno dei tre tipi in base a qual è il minimo o l'estremo inferiore degli spostamenti su tale spazio; inoltre si osserva il fatto che, mentre i casi periodico e riducibile non sono mutualmente esclusivi, gli omeomorfismi pseudo-Anosov non possono essere anche di un altro tipo.