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Scopo di questo lavoro e` l’esposizione di una serie di risultati riguardanti la teoria matematica della musica, con particolare attenzione a due problemi:
la classificazione delle serie dodecafoniche e la modellizzazione matematica
degli accordi.
Nel primo capitolo vengono introdotti i concetti di base della teoria ma-
tematica della musica, al fine di definire matematicamente l’oggetto musicale
di maggiore importanza: la nota.
A partire da una trattazione della fisica dell’onda sonora, si procede a
definire la frequenza dell’onda sonora, e successivamente la sua altezza. Que-
sta costruzione conduce alla rappresentazione di una nota come un punto
sulla retta reale. Successivamente si procede a quozientare la retta reale
tramite la relazione di equivalenza derivata dall’intervallo di ottava, otte-
nendo un’ulteriore rappresentazione delle note come punti di R/Z = S 1 , la
circonferenza.
Infine si introduce la nozione di temperamento equabile a 12 note, ossia
la discretizzazione della precedente costruzione, che conduce alla rappresen-
tazione delle note come elementi di Z/12Z.
Si pone l’accento sulla possibilta` di tradurre concetti di natura mate-
matica in concetti di natura musicale, e a tale proposito si fornisce una
introduzione ai princıpi della musica dodecafonica, la tecnica compositiva
introdotta da Arnold Schonberg nel 1923 allo scopo di superare la rigidita'
delle regole della musica tonale. Essa prevede di strutturare la composizione
di un brano su una serie dodecafonica, una successione delle 12 note con la
proprieta' che ogni nota venga eseguita una sola volta. In termini matematici, una serie dodecafonica non e` altro che una permutazione dell’insieme delle note Z/12Z, ed e` pertanto rappresentata da un elemento del gruppo
di permutazione S12.
Sono da considerare equivalenti serie ottenute l’una dall’altra tramite un
gruppo C di trasformazioni, le serie derivate. Si rende quindi necessario
studiare l’insieme Sn /C. La cardinalita' di tale insieme risulta pero' troppo
grande ( proposizione 2.1), per poter sperare di ottenere un elenco dei suoi
elementi. Si procede pertanto a introdurre un meccanismo di classificazione
delle serie, dato dai diagrammi di Gauss.
Il secondo capitolo e` dedicato alla presentazione dei diagrammi di Gauss.
Essi sono stati introdotti da Franck Jedrzejewski in [1]. A un livello intui-
tivo, l’idea dei diagrammi di Gauss e` di tenere traccia, in una serie s, della
disposizione delle note separate da un intervallo di sei semitoni (ossia la po-
sizione delle note x e y tali che x−y = 6 mod(12)). Si dimostra in particolare
che due serie derivate una rispetto all’altra hanno lo stesso diagramma di
Gauss associato.
Dopo aver definito i diagrammi di Gauss, si procede allo studio della
classificazione ottenuta a partire da essi. Piu' in dettaglio, si definisce l’azione
di un gruppo Γ sull’insieme delle S12 delle serie dodecafoniche, e si dimostra
che due serie s e t hanno lo stesso diagramma di Gauss associato se e solo
se sono coniugate tramite l’azione del gruppo Γ. Viene esibita la struttura
di tale gruppo.
Infine si stabilisce, dato un generico diagramma di Gauss D, quante
sono le serie s ∈ S12 che hanno D come diagramma associato. Si mostra la
relazione tra il numero di serie associate a un diagramma e le simmetrie del
diagramma stesso.
Nel terzo capitolo viene introdotto il concetto di diagramma di Gauss
generalizzato. Come si evince dal nome, si tratta di una generalizzazione
della costruzione precedente. Nel caso classico il diagramma associato a una
serie dipende dalla posizione delle coppie di note x e y tali che x − y =
6 mod(12), ossia dalla posizione delle note appartenenti a una stessa classe
laterali per il sottogruppo K =< 6 > di Z/12Z.
Si puo' pero' tenere conto della posizione di note appartenenti a una me-
desima classe laterale per un generico sottogruppo H di Z/12Z, ottenendo
un diagramma di Gauss generalizzato di ordine 12 con H come sottogruppo
caratteristico. Generalizzando ulteriormente tale approccio, e' possibile clas-
sificare serie di lunghezza arbitraria n, ottenute quindi a partire dal tempe-
ramento equabile a n note, fissando un sottogruppo H di Z/nZ e costruendo
il diagramma di Gauss generalizzato di ordine n con H come sottogruppo
caratteristico.
Il terzo capitolo contiene la generalizzazione dei risultati del secondo:
fissato un sottogruppo caratteristico, si studia la classificazione delle serie
ottenuta tramite l’azione di un gruppo ΓH di cui viene esibita la struttu-
ra, e si mostra nuovamente la relazione tra il gruppo di simmetrie di un
diagramma generalizzato e il numero di serie ad esso associate.
Nel quarto capitolo si affronta il seguente problema: fissato un intero n
a meno di quali trasformazioni e` possibile classificare l’insieme Sn delle serie
tramite il meccanismo dei diagrammi di Gauss generalizzati. Piu` precisa-
mente, fissato un insieme S = {H1 , . . . , Hm } di sottogruppi di Z/nZ e una
serie s, e' possibile costruire l’insieme dei diagrammi generalizzati associati s con gli Hi come sottogruppi caratteristici Ds 1 , . . . , Ds m . Vogliamo stabi-
lire quali serie t hanno gli stessi diagrammi di Gauss associati, ossia le serie
t tali che Ds i = Dt i per ogni i. Si tratta quindi di studiare l’intersezione
dei gruppi di invarianza ΓHi dei diagrammi. Il quarto capitolo e' dedicato
allo studio di tale problemi e si conclude con due esempi di calcolo esplicito.
Il quinto capitolo e' invece dedicato al problema dell’enumerazione dei
diagrammi di Gauss. Ci si chiede, fissato un intero n e un sottogruppo
H di Z/nZ, quanti siano i diagrammi di Gauss generalizzati con H come
sottogruppo caratteristico. Il caso standard n = 12, H =< 6 > e' gia'
stato trattato da Andrei Khruzin in [2]. Si generalizza il suo approccio, che
sfrutta un argomento di de Bruijn ([4] e [5]) al caso generale, e si fornisce
una formula esplicita per il calcolo.
Nel sesto capitolo si abbandona lo studio delle serie e delle loro proprieta'
combinatorie per spostarsi su un problema di natura geometrica: la model-
lizzazione matematica degli accordi. Si vuole rappresentare l’insieme degli
accordi di n note come uno spazio metrico An . Questa costruzione si deve
a Dmitri Tymoczko ([6] e [7]). Si pone particolare accento sulla struttura
degli spazi ottenuti, che risultano essere degli orbifolds e muniti di una de-
composizione in fibre isomorfe a S 1 che, nel caso particolare n = 3, dona
allo spazio A3 la struttura di un fibrato di Seifert. Viene mostrata la rela-
zione tra tale fibrazione e la proprieta` di alcuni accordi di essere accordi a
trasposizione limitata.
Infine, si introducono ulteriori equazioni di equivalenza trasposizione e
inversione sugli spazi An , e si esibisce la struttura degli orbifold cosi' ottenuti.