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La grafite è un solido tridimensionale ampiamente studiato sin dagli anni Quaranta, costituito da atomi di Carbonio disposti su strati debolmente legati fra loro, ciascuno dei quali è un reticolo esagonale "a nido d'ape", detto grafene, compenetrazione di due sottoreticoli triangolari. Il singolo strato di grafene è un semiconduttore a "gap" nullo, le cui bande di valenza e di conduzione si toccano al "punto di Dirac" (punto K) in maniera lineare: questo fa sì che il grafene rappresenti un sistema di meccanica quantistica relativistica in 2+1 dimensioni, in fisica della materia condensata. I suoi elettroni infatti sono particelle relativistiche dotate di chiralità di "pseudospin" (un numero quantico introdotto per distinguere i due sottoreticoli) e si muovono seguendo un'equazione formalmente identica a quella di Dirac a due componenti. L'interazione Coulombiana elettrone-elettrone può essere aggiunta in maniera non-relativistica. Fino al 2004 tuttavia, anno in cui il gruppo guidato da A. Geim (Manchester) è riuscito ad isolare il singolo strato di grafene grazie al taglio micromeccanico della grafite, l'esistenza di questo materiale allo stato libero era ritenuta impossibile, a causa della sua presunta instabilità (perchè bidimensionale) verso la transizione ad uno stato corrugato o arrotolato. Per circa sessanta anni, dunque, il grafene è stato ritenuto un semplice esercizio teorico. La scoperta del singolo strato di grafene allo stato libero ha aperto la strada allo studio delle proprietà elettroniche di questo nuovo materiale: da questo punto di vista esso è estremamente interessante perchè, oltre a esibire una banda lineare al punto K, è una membrana dello spessore di pochi Angstrom, i cui elettroni di valenza esibiscono mobilità elevate anche a temperatura ambiente. Un altro sistema ampiamente studiato è il doppio strato di grafene: quando la probabilità di "tunneling" da uno strato all'altro è non nulla, si ottiene (in configurazione AB o di "Bernal"), a piccoli vettori d'onda, una dispersione parabolica per le bande di valenza e conduzione ed una piccola massa efficace degli elettroni. Anche il doppio strato di grafene è un semiconduttore a gap nullo i cui portatori di carica esibiscono chiralità J doppia rispetto al singolo strato. Una peculiarità del doppio strato, che lo rende molto appetibile per applicazioni nanoelettroniche, è la possibilità di aprire un gap di ampiezza regolabile fra banda di valenza e conduzione mediante l'applicazione di una differenza di potenziale fra gli strati.

In questo lavoro di tesi abbiamo studiato le proprietà a molti corpi del singolo e del doppio strato di grafene, puntando l'attenzione sullo studio della funzione di risposta lineare corrente-corrente, che regola il comportamento del sistema in presenza di un potenziale vettore esterno. Ci siamo occupati anche dello studio delle eccitazioni collettive degli elettroni (in particolare del plasmone), ricavando, nel caso del doppio strato, le correzioni alla frequenza di plasma dovute all'interazione elettrone-elettrone.

Nel primo capitolo abbiamo passato in rassegna la teoria del singolo e del doppio strato di grafene, soffermandoci innanzitutto sul calcolo della struttura a bande, in approssimazione "tight-binding" a primi vicini, per entrambi i sistemi. Abbiamo quindi introdotto i modelli approssimati di bassa energia con cui usualmente si studiano questi sistemi, ossia il modello di fermioni di Dirac non massivi per il singolo strato e il modello di fermioni massivi a due bande per il doppio strato in configurazione AB. Siamo passati quindi a considerare gli effetti a molti corpi nel grafene, presentando innanzitutto la funzione di risposta lineare densità-densità. Abbiamo quindi mostrato come da essa si ricavino la dispersione della frequenza del plasmone e lo schermo statico in approssimazione "Random Phase" (RPA), puntando poi l'attenzione sulla spiegazione degli spettri di fotoemissione (ARPES) e sul comportamento del grafene in campo magnetico. Abbiamo concluso il capitolo riportando risultati sperimentali che dimostrano l'esistenza di fermioni di Dirac non massivi (nel singolo strato) e massivi (nel doppio strato), quali l'effetto Hall quantistico, e gli effetti a molti corpi di importanza rilevante (ARPES e spettroscopia ottica).

Nel secondo capitolo abbiamo introdotto innanzitutto le teoria della risposta lineare e la teoria del funzionale densità di corrente (CDFT) sviluppata negli anni Ottanta da Vignale e Rasolt per il gas di elettroni convenzionale con banda a dispersione parabolica. Come risultato originale abbiamo quindi calcolato le funzioni di risposta corrente-corrente longitudinale e trasversa non-interagenti per il singolo strato di grafene. Grazie alla particolarità dell'Hamiltoniana di Dirac, esse sono collegate alle rispettive funzioni di risposta pseudospin-pseudospin da una relazione lineare. La risposta longitudinale ci ha permesso quindi di calcolare la dispersione della frequenza del plasmone in schema RPA, dimostrando (i) che essa ha un andamento simile a quello "classico" all'ordine dominante e (ii) che il segno della prima correzione dipende dalla forza dell'accoppiamento elettrone-elettrone. Dalla funzione di risposta trasversa abbiamo ottenuto invece la suscettività magnetica orbitale dimostrando come il grafene non drogato sia di gran lunga più diamagnetico di quello drogato: nel limite di temperatura zero si ottiene una suscettività infinita per grafene non drogato, e nulla per quello drogato (in perfetto accordo con risultati precedenti di McClure). La funzione di risposta corrente-corrente da noi calcolata, inoltre, costituisce un "input" fondamentale per la costruzione di funzioni di risposta approssimate che tengano conto delle interazioni elettrone-elettrone e/o di funzionali di scambio-correlazione approssimati per la CDFT.

Infine, nel terzo capitolo, abbiamo affrontato il problema delle eccitazioni collettive plasmoniche nel doppio strato. Abbiamo ricavato correzioni a molti corpi alla dispersione del plasmone ed al peso di Drude in una teoria "beyond RPA", esatta al primo ordine nella costante d'accoppiamento dell'interazione Coulombiana (teoria Hartree-Fock). Abbiamo trovato una forte rinormalizzazione, dovuta all'interazione elettrone-elettrone, della risposta in corrente ad un potenziale vettore longitudinale omogeneo e statico. Anche la dispersione del plasmone ed il peso di Drude, grazie al legame tra la funzione di risposta in corrente e quella in densità, risultano rinormalizzati. Questo fenomeno deriva dalla rottura dell'invarianza del modello per trasformazioni di Galileo, dovuta al fatto che gli stati del doppio strato (come quelli del singolo) sono caratterizzati, oltre che dal valore dell'impulso, da un'orientazione dello pseudospin. Lo spazio reciproco, dunque, è interamente coperto da una "texture" di pseudospin orientati con chiralità J = 2, in direzioni diverse a seconda della banda considerata. In seguito ad una trasformazione di Galileo, il cerchio di Fermi degli stati occupati si sposta nella direzione del "boost". Di conseguenza, l'orientazione degli pseudospin rispetto al suo centro cambia, provocando la rottura dell'invarianza per trasformazioni di Galileo, che rende l'approssimazione RPA inefficace a catturare gli effetti delle interazioni a molti corpi anche a grandi lunghezze d'onda.