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Negli ultimi anni alcuni esperimenti fondamentali nel campo degli atomi freddi hanno dimostrato la possibilità di realizzare in laboratorio sistemi quantistici a molti corpi quasi perfettamente isolati e di osservarne l'evoluzione temporale coerente. Questi lavori sperimentali hanno rinnovato l'interesse teorico nello studio dei problemi aperti inerenti alla dinamica del non equilibrio in sistemi isolati, riportando all'attenzione, in particolare, le domande riguardanti la caratterizzazione del raggiungimento dello stato stazionario e della sua descrizione. In questo quadro, il protocollo di quench, cioè la procedura di portare un sistema lontano dall'equilibrio attraverso una variazione improvvisa di un parametro nella sua hamiltoniana, ha ricevuto molta attenzione: da una parte per la sua relativa semplicità, dall'altra perché permette diverse realizzazioni sperimentali.

Un filone di ricerca che negli ultimi anni ha raccolto sforzi significativi si è concentrato sullo studio di quench nei sistemi integrabili, cioè sistemi esattamente risolubili; sia per la necessità di chiarire il loro carattere speciale, sia per la possibilità di studiarli utilizzando tecniche analitiche esatte fornendo un controllo teorico impossibile in casi generici. La mia tesi si inserisce in questo discorso, focalizzando in particolare l'attenzione sullo studio di quench in sistemi integrabili risolubili tramite il cosiddetto Bethe ansatz, una tecnica introdotta da Bethe nel 1931 per risolvere il modello isotropo di Heisenberg (o catena di spin XXX); questi sistemi rappresentano modelli a molti corpi completamente risolubili genuinamente interagenti (non mappabili cioè in sistemi di particelle libere).

Nello specifico, l'oggetto di studio della mia tesi sono stati il modello di Lieb-Liniger e quello anisotropo di Heisenberg (conosciuto anche come catena XXZ); il primo è un modello continuo unidimensionale di bosoni con interazione di contatto repulsiva introdotto negli anni Sessanta, mentre il secondo consiste in un reticolo discreto di spin unidimensionale con accoppiamento a primi vicini. Questi sistemi sono introdotti nei primi capitoli, e le hamiltoniane corrispondenti vengono diagonalizzate attraverso Bethe ansatz.

Nello studio dell'evoluzione temporale del valore di aspettazione sullo stato del sistema di un'osservabile d'interesse a seguito di un quench, un approccio utilizzato è quello dell'espansione in fattori di forma; i building blocks necessari per usare questo metodo sono gli autostati normalizzati del sistema, gli elementi di matrice dell'osservabile che si sta analizzando e i prodotti scalari (overlap) tra autostati di hamiltoniane corrispondenti a due diversi valori del parametro di quench.
Nei sistemi integrabili è possibile calcolare la norma degli autostati e gli elementi di matrice attraverso il cosiddetto algebraic Bethe ansatz, un formalismo potente introdotto negli anni Settanta e che è presentato nella tesi. Grazie a questa tecnica, si possono ottenere formule compatte per queste quantità in termini del determinante di matrici le cui dimensioni scalano linearmente con quelle del sistema, e questo consente di effettuare calcoli esatti anche nel limite termodinamico. Per contro, in generale il calcolo degli overlap è tipicamente molto difficile; il problema rimane aperto per sistemi integrabili generici ed è stato preso in considerazione nella mia tesi per i modelli di Lieb-Liniger e XXZ.

Il lavoro originale della tesi si divide principalmente in due parti. Nella prima, proponiamo un metodo per calcolare gli overlap nel modello XXZ tra autostati dell'hamiltoniana e stati fattorizzati, attraverso la derivazione di formule ricorsive. Le formule ricorsive per gli overlap sono ottenute utilizzando in modo sistematico tecniche di algebraic Bethe ansatz. Questo approccio è generalizzato per un caso particolare al modello di Lieb-Liniger, ed è naturalmente generalizzabile a modelli integrabili su reticolo.
Partendo da una formula ricorsiva dimostrata, otteniamo una formula compatta per gli overlap tra autostati del modello XXZ e il cosiddetto stato di Néel, ritrovando in modo più semplice un risultato recentemente dimostrato in letteratura.

Nella seconda parte originale della tesi, studiamo un quench nel modello di Lieb-Liniger. Il problema generico corrispondente ad una variazione arbitraria della costante d'interazione c che compare nell'hamiltoniana rimane aperto e difficile da attaccare, per l'assenza di una formula di overlap tra autostati di hamiltoniane con parametri d'interazione diversi. Nella tesi si è considerato il problema più semplice (ma ancora non studiato) di variazione al prim'ordine del parametro c, con c arbitrario, ottenendo una formula per l'overlap in questo caso, sempre attraverso l'uso dell'algebraic Bethe ansatz. Questa formula ha permesso uno studio numerico dell'evoluzione temporale di alcune quantità del sistema; abbiamo in particolare considerato il Loschmidt echo, il valore di aspettazione dell'osservabile $\psi^{\dagger}(x)\psi^{\dagger}(x)\psi(x)\psi(x)$ e la funzione di correlazione a due punti a tempi uguali, confrontando i risultati con uno studio numerico precedente sul modello di Lieb-Liniger in cui l'hamiltoniana dopo il quench è quella libera (in cui cioè la costante d'interazione viene improvvisamente posta uguale a zero).

I risultati esatti presentati nella tesi riguardanti le formule analitiche degli overlap nel modello XXZ e quella corrispondente al quench al prim'ordine nel modello di Lieb-Liniger, si uniscono a quelli comparsi nella letteratura dell'ultimo anno, che costituiscono un punto di partenza verso la soluzione del problema generale di quench in sistemi integrabili. Trovare un formalismo che permetta di ricavare formule compatte per gli overlap tra autostati di hamiltoniane corrispondenti a parametri di quench diversi per sistemi integrabili generici renderebbe possibile il controllo analitico per molti problemi teorici, fornendo calcoli esatti per una grande classe di potenziali esperimenti.