• cupole in muratura
• membrane
• duomo di Pisa
• analisi limite

La presente tesi si inserisce all'interno di un'attività di ricerca più ampia, attualmente in corso di sviluppo da parte del Gruppo di ricerca sulle Costruzioni Storiche in Muratura di Pisa, rivolta all'analisi della risposta meccanica e delle capacità resistenti della cupola del duomo di Pisa. In particolare, il lavoro di tesi ha come obiettivo lo studio della capacità portante della cupola nei riguardi dei carichi verticali, attraverso la determinazione di opportuni campi di sollecitazione staticamente ammissibili.

L'analisi presentata nella tesi si colloca nel solco delle ricerche scaturite a seguito del fondamentale lavoro di Jacques Heyman del 1966 e sviluppate, anche in anni recenti, da numerosi ricercatori. La tesi si articola come riassunto di seguito.

Nel primo capitolo della tesi si richiamano i principali aspetti degli schemi strutturali per elementi in muratura, sviluppati nell'ambito dell'analisi limite, e introdotti per primo da Heyman.

Nel secondo capitolo si richiamano le nozioni di base del calcolo tensoriale e della geometria differenziale delle superfici, utili nella formulazione del problema di equilibrio di un guscio sottile di forma qualsiasi. La forma della cupola oggetto di studio, infatti, presenta alcune particolarità, quali la pianta ovale e il profilo ogivale, che rendono necessario l'utilizzo degli strumenti tipici della geometria differenziale delle superfici, così da poter derivare le espressioni generali delle equazioni di equilibrio che descrivono il problema.

Nel terzo capitolo si introduce la teoria dei gusci in regime membranale e si giunge alle equazioni che regolano il problema di equilibrio nelle due formulazioni classiche: quella generale e quella facente uso di un'opportuna funzione degli sforzi (introdotta da Pucher).

Nel quarto capitolo si inizia ad affrontare il vero e proprio caso studio. Il primo passaggio consiste nella descrizione della forma della cupola. A questo proposito, si determinano le espressioni analitiche delle superfici che, in un qualche senso medio che sarà precisato, approssimano quelle effettive di intradosso e di estradosso della cupola. I dati di partenza sono rappresentati dai risultati ottenuti da un rilievo strumentale effettuato con laser-scanner.

Per quanto riguarda i materiali costituenti la cupola, si riportano i risultati ottenuti da una campagna di prove e indagini attualmente in corso di completamento. In particolare, dopo aver eseguito dei saggi esplorativi e una serie di carotaggi e indagini endoscopiche, che hanno confermato la presenza di una muratura di mattoni pieni, sono state eseguite alcune prove con la tecnica dei martinetti piatti. Inoltre, le lesioni principali, ben visibili all'intradosso della cupola, sono state oggetto di un monitoraggio, ancora in corso, per verificare l'eventuale variazione della loro apertura nel tempo.

Nel quinto capitolo si entra nel merito di quello che è l'obiettivo principale di questa tesi. Facendo riferimento alla forma regolarizzata, ottenuta nel quarto capitolo, si forniscono delle soluzioni staticamente ammissibili per il problema di equilibrio della cupola oggetto dell'analisi. A tale proposito, si mostra come sia possibile determinare dei campi di sforzo equilibrati e compatibili con la resistenza del materiale, per il quale si sono adottate le ipotesi di Heyman (resistenza a compressione infinita, nessuna resistenza a trazione e assenza di scorrimento fra i conci). Il problema è risolto attraverso l'individuazione di un'opportuna "superficie delle pressioni", estensione alle cupole di quello che la curva delle pressioni rappresenta per un arco in muratura.
Si mostra, infine, qual è il margine di sicurezza della cupola nei confronti dei carichi verticali, in accordo con le ipotesi fatte. In particolare, si prendono in considerazione due fattori di sicurezza: uno geometrico e l'altro meccanico.