• complex networks
• dinamica non lineare
• non linear dynamics
• pattern di Turing
• pattern spazio-temporali
• reaction-diffusion systems
• reti complesse
• sistemi di reazione e diffusione
• spatio-temporal patterns
• Turing patterns

L’auto-organizzazione è un processo di sviluppo gerarchico che muove dalle interazioni microscopiche fra elementi appartenenti al sistema, per produrre stati macroscopici ordinati, caratterizzati da un elevato livello di complessità. In questo contesto l’instabilità di Turing gioca un ruolo particolarmente rilevante. A partire da un sistema di reazione e diffusione che caratterizza l’evoluzione dinamica delle concentrazioni delle specie (particelle, molecole, individui, ecc.) in mutua interazione, è possibile identificare la regione dei parametri che sottende ad una instabilità lineare del punto fisso omogeneo del modello. In risposta ad una perturbazione esterna, il sistema si allontana dalla soluzione omogenea di equilibrio, assunta a stato iniziale, per convergere ad uno stato asintotico stazionario non omogeneo e caratterizzato da motivi spazialmente ordinati, i pattern di Turing.

In questo lavoro di tesi abbiamo studiato alcune interessanti estensioni del concetto di instabilità di Turing su un supporto discreto, grafo complesso o multiplex, derivando predizioni teoriche per l’insorgenza dei pattern, e verificando le stesse tramite simulazioni numeriche dirette, assumendo come modello di riferimento il Brusselatore.

Nella prima parte della tesi abbiamo introdotto alcuni concetti fondamentali sulla teoria dei grafi e sulla rilevanza delle equazioni di reazione e diffusione nell’ambito dello studio dei fenomeni di auto-organizzazione. Abbiamo, quindi, rivisitato la teoria di Turing per sistemi definiti su dominio spaziale continuo, e su supporto di tipo grafo.

In seguito, abbiamo esteso la trattazione dell’instabilità di Turing al caso in cui due specie popolano un reticolo bidimensionale con correlazioni a lungo raggio, diffondendo lungo la direzione orizzontale e verticale, indipendentemente. Abbiamo ricavato le condizioni matematiche che consentono di tracciare la regione di instabilità nello spazio generalizzato dei parametri. Esistono, inoltre, fenomeni di auto-organizzazione cooperativi, generati, cioè, dell’interazione costruttiva fra le due direzioni indipendenti di diffusione.

Abbiamo, poi, ampliato la teoria di Turing, studiando un sistema di equazioni di reazione e diffusione su un grafo di tipo multiplex, ovvero un supporto di n grafi connessi fra loro. Sviluppando un’analisi perturbativa, nel limite di debole o forte accoppiamento diffusivo fra grafi adiacenti, abbiamo potuto delineare un profilo completo per l’instabilità. Anche in questo caso, abbiamo evidenziato i fenomeni generati dalle interferenze cooperative o distruttive, che discendono dall’accoppiamento fra i grafi.

In conclusione, in questo lavoro di tesi, abbiamo discusso l’instabilità di Turing generalizzata su grafo, ricavando delle condizioni per l’insorgenza di pattern spazialmente estesi, elaborando sull’interesse applicativo degli stessi e prefigurando future prospettive di ricerca.