• modello XY
• simulazione monte carlo
• gruppo di rinormalizzazione
• trap-size scaling

Questo lavoro di tesi vuole andare a studiare il comportamento critico di sistemi in presenza di un potenziale confinante. Sistemi atomici intrappolati sono infatti sistemi di grande interesse sperimentale: per esempio, la condensazione di Bose-Einstein, prevista teoricamente nel 1924-1925, è stata osservata solo nel 1995 in un vapore di atomi di rubidio ($^{87}$Rb) e sodio ($^{23}$Na) in cui gli atomi erano confinati in trappole magnetiche. La presenza della trappola nello studio di questi sistemi è importante perchè, mentre un gas di Bose libero la condensazione avviene solo nello spazio dei momenti, gas intrappolati si condensano sia nello spazio delle coordinate che in quello degli impulsi.
Recentemente è stato studiato sperimentalmente il comportamento critico di un gas di Bose intrappolato, e si è osservato un andamento della lunghezza di correlazione compatibile con il comportamento atteso ad una transizione continua nella classe di universalità del modello XY tridimensionale. La presenza della trappola però cambia fortemente la fenomenologia delle transizioni di fase osservate in assenza di trappola, per esempio, non ci si aspetta che le lunghezze di correlazione divergano in presenza di un potenziale confinante: da qui la necessità di avere una descrizione teorica del comportamento critico dei sistemi intrappolati.
SI considera un potenziale confinante della forma

U(r) = v^p*r^p = (r/l)^p

con v e p costanti positive e con l che rappresenta le dimensioni della trappola: questo potenziale può venire accoppiato, per esempio, al numero di particelle o all'energia. Questo potenziale cambia in maniera efficace il valore locale del potenziale chimico, creando un effetto di confinamento. Se settiamo i parametri del sistema ai valori corrispondenti al regime critico del sistema libero, l'usuale andamento della funzione di correlazione al punto critico $G(r) \sim 1/ r^{d-2 + \eta}$ sarà osservabile vicino all'origine solo per valori della funzione di correlazione $\xi \sim t^{-\nu}$ molto più piccoli della dimensione della trappola ma comunque grandi abbastanza affinche sia visibile lo scaling. Se la $\xi$ invece non è molto più piccola della dimensione della trappola lo scaling viene modificato dalla presenza del potenziale, ma possono comunque nascere effetti universali controllati dalla classe di universalità del sistema libero.
Con tecniche di gruppo di rinormalizzazione si può associare al potenziale un esponente \theta e si vede che per una generica quantità S ci si aspetta uno scaling della forma

S = l^{-\theta y_S} f_S ( t l^{\theta/\nu})

dove $y_S$ \`e la dimensione di GR di $S$.
Si è cercato di verificare questo scaling con modelli di teorie di campo con questo potenziale confinante: l'interesse fisico di teorie di questo genere è dato ad esempio dal voler studiare la condensazione di Bose-Einstein in presenza di trappola. L'energia di tale sistema può essere infatti scritta come
\begin{equation*}
E[\Phi] = \int{\mathrm{d^d}r \left[ \frac{\hbar^2}{2m} \abs{\nabla \Phi}^2 + U(r) \abs{\Phi}^2 + \frac{g}{2}\abs{\Phi}^2 \right]}
\end{equation*}
dove $\Phi(r,t) = \asp{\hat{\Psi}(r,t)}$ \`e il valore di aspettazione dell'operatore di campo bosonico ed \`e spesso chiamato "funzione d'onda del condensato". Nel lavoro di tesi, abbiamo calcolato le funzioni di correlazione per il modello gaussiano $g = 0$ ed abbiamo verificato lo scaling previsto dal gruppo di rinormalizzazione: in particolare, abbiamo considerato i casi di potenziale armonico $p =2$ ed il caso di sistema intrappolato in una scatola $p = +\infty$.\\
Infine, abbiamo verificato lo scaling in un modello esplicito: abbiamo preso il modello XY in 2 dimensioni accoppiato al potenziale confinante scritto sopra, ed abbiamo effettuato una simulazione Monte Carlo del sistema nella sua fase a basse temperature. In questo modo abbiamo verificato che i risultati ottenuti sono in accordo con una teoria di trap-size scaling con esponente di trappola $\theta =1$: inoltre, abbiamo verificato che, al variare della temperatura sempre al di sotto del suo valore critico, il sistema sembra essere descritto sempre dalla stessa teoria.\\
Il lavoro di tesi \`e strutturato nel seguente modo:
\begin{itemize}
\item[Capitolo 1]{In questo capitolo viene data una breve introduzione alla teoria dei fenomeni critici ed al gruppo di rinormalizzazione.}
\item[Capitolo 2]{Viene esposta la teoria del trap-size scaling e le previsioni che si ottengono usando il gruppo di rinormalizzazione}
\item[Capitolo 3]{Vengono considerate teorie di campo gaussiane con potenziale accoppiato o al termine $\phi^2$ o al termine cinetico $(\partial_\mu \phi)^2$. Vengono calcolate la funzione di correlazione ed altre grandezze interessanti}
\item[Capitolo 4]{In questo capitolo, dopo aver brevemente introdotto il modello XY in due dimensioni e la teoria della simulazione Monte Carlo, si espongono e commentano i risultati della simulazione effettuata.}
\end{itemize}