• algebre
• gruppi riduttivi
• quiver
• rappresentazioni
• sistemi di radici
• varietà

In questa tesi voglio introdurre i quiver e studiarne le rappresentazioni; la trattazione partirà dai fatti elementari per poi giungere alla dimostrazione di vari teoremi. La tesi è divisa in due parti: nella prima tratterò le rappresentazioni di quiver a meno di isomorfismo e nella seconda verrà associato ad ogni quiver una varietà e ne saranno studiate le proprietà. L'argomento è piuttosto vasto e gli strumenti utilizzati sono molto vari, si farà uso di tecniche di algebra omologica e algebra non commutativa, di combinatoria e di geometria e teoria degli schemi.

Un quiver è un grafo orientato, una rappresentazione è l'assegnazione ad ogni arco di un'applicazione lineare. Alcuni classici problemi di algebra lineare, come lo studio degli endomorfismi di uno spazio vettoriale o come decomporre sottospazi vettoriali, sono stati generalizzati grazie al linguaggio dei quiver. In principio associo al quiver un'algebra di cammini e le rappresentazioni sono moduli su quest'algebra, lo studio si focalizzerà sui moduli (o rappresentazioni) indecomponibili. Si osserveranno proprietà di quest'algebra, la principale è che ogni modulo ha dimensione proiettiva al più uno.

Si introducono poi oggetti combinatori come la forma di Ringel, bilineare non simmetrica, associata a un quiver e la forma di Tits che è la sua simmetrizzata. La forma di Tits è definita positiva o semidefinita positiva solo per alcuni grafi chiamati rispettivamente di Dynkin o Euclidei. Tutti gli altri grafi vengono detti “wilde” poiché determinare le rappresentazioni indecomponibili è un problema molto arduo e non risolto. I vettori interi con norma minore o uguale ad uno formano un sistema di radici, la definizione del sistema di radici di un quiver è leggermente diversa, principalmente perché si vuole il supporto connesso. Le radici con forma di Tits non positiva sono dette immaginarie e le altre reali, le radici immaginarie suddividono a sua volta in isotrope se la forma è nulla e non-isotrope altrimenti. Lo studio delle rappresentazioni procede usando i funtori di riflessione o funtori di Coxeter. Essi hanno due descrizioni diverse: la prima è combinatoria sulle applicazioni lineari di cui si tratta, la seconda è puramente algebrica. Le due definizioni coincidono e questi funtori, che trasformano una rappresentazione in un'altra con dimensione diversa, permettono di ridurre lo studio di tutti i casi allo studio di alcuni casi facili.

Fissata una base per ogni spazio vettoriale, le rappresentazioni sono date da una collezione di matrici. Lo spazio affine che ha per base le entrate delle matrici parametrizza tutte le rappresentazioni di una fissata dimensione. Su di esso agisce un gruppo algebrico e si osserva che due rappresentazioni sono isomorfe se e solo se sono coniugate tramite il gruppo. Lo studio delle orbite fornisce informazioni sul numero di rappresentazioni indecomponibili e sul numero di parametri da cui dipendono.

Un risultato importante è il teorema di Gabriel:
Teorema di Gabriel
Se il grafo è di Dynkin, le rappresentazioni indecomponibili sono in corrispondenza biunivoca con le radici reali positive del sistema di radici.

Lo studio si focalizza sui grafi leggermente più difficili da studiare, quelli euclidei. Si continuerà con un approccio geometrico fino a determinare il numero di indecomponibili di dimensione la radice immaginaria minima. Esse sono parametrizzate dal primo proiettivo P^1, grazie a ciò si riesce a dimostrare il teorema:
Teorema di Kac
Esiste una rappresentazione indecomponibile di dimensione $\alpha$ se e solo se $\alpha$ è una radice positiva.
Inoltre il numero di parametri da cui dipendono le rappresentazioni indecomponibili è dato dalla forma di Tits.

Nella seconda parte della tesi sarà introdotta una varietà che parametrizza alcune rappresentazioni di un determinato quiver, lo scopo è determinare le sue principali proprietà. In particolare mostrerò che queste varietà sono normali, risultato ottenuto da Crawley-Boevey nel 2003. La normalità di una varietà è un risultato interessante di per sé, ma secondo me la parte più interessante sono le tecniche usate nella dimostrazione: la decomposizione di una varietà come prodotto di varietà più semplici e morfismi locali ed étale tra di esse possono essere usati per ulteriori studi.

Innanzitutto si raddoppia il quiver aggiungendo frecce con orientazione opposta e si osserva che lo spazio delle rappresentazioni del nuovo quiver è il fibrato cotangente alle rappresentazione del quiver iniziale. L'azione del gruppo algebrico prima introdotto motiva lo studio della mappa momento a lui associata. Di particolare interesse sono le fibra dei punti fissi, esse sono chiusi invarianti e contengono tutte le rappresentazioni che soddisfano determinate equazioni. Il quoziente della fibra per l'azione del gruppo è la varietà quiver, il quoziente esiste e può essere singolare. Si introduce quindi una nozione di stabilità che permette di costruire una nuova varietà liscia, essa è una risoluzione di singolarità della varietà quiver. Lo studio di queste varietà procede con la generalizzazione dei funtori di riflessione introdotti prima a funtori sul quiver raddoppiato, essi mandano una fibra della mappa momento nella fibra di un'altra mappa momento. Anche il sistema di radici viene generalizzato introducendo una nuova condizione legata al punto stabile scelto. Una lunga sezione della tesi sarà dedicata allo studio della regione fondamentale generalizzata, essa permetterà la dimostrazione di alcuni teoremi. La proiezione dalle rappresentazioni nella fibra della mappa momento nelle rappresentazioni del quiver originario permette di determinare l'esistenza e il numero di rappresentazioni semplici del quiver raddoppiato che soddisfano le condizioni imposte dalla mappa. Un teorema sulla decomposizioni di radici in somma di altre radici porta alla decomposizione di ogni rappresentazione in rappresentazioni di dimensione inferiore, ma non necessariamente indecomponibili. Questa decomposizione è detta canonica. Il risultato permette di scrivere la varietà quiver come prodotto di altre varietà quiver di dimensione inferiore, fino ad arrivare a varietà particolarmente semplici. L'ultimo strumento che introduco è una mappa étale locale tra un punto di una varietà quiver e l'origine di un'altra varietà quiver, questa mappa è indotta da una traslazione e le sue proprietà discendono dal teorema “slice” di Luna. Un'ulteriore discussione sugli schemi normali e sui quozienti permette di dimostrare la normalità ignorando strati di dimensione bassa.
Il teorema finale è sulla normalità.
Teorema di Crawley-Boevey
Tutte le varietà quiver sono normali.

La dimostrazione usa tutti i principali risultati della tesi e si riconduce alla normalità delle varietà quiver associate ad un grafo euclideo e alla minima radice immaginaria positiva. Il risultato discende dall'isomorfismo tra varietà quiver e quozienti dello spazio affine C^2 per gruppi discreti, questi ultimi hanno solo singolarità di tipo Klein che sono normali.