• applicazione canonica
• superfici
• tipo generale

Il lavoro di tesi qui di seguito presentato tratta un
argomento classico della teoria delle superfici algebriche.

Intendiamo per superficie una varieta' liscia e proiettiva di dimensione 2
sul campo $\mathbb{C}$.
Uno strumento fondamentale per lo studio di tali oggetti \`e dato
dalle applicazioni $n$-canoniche $\varphi_{nK}$.
Si chiama dimensione di Kodaira di una variet\`a $V$ il numero
$$\kappa(V)=\sup_n \dim {\rm Im}\varphi_{nK}$$
se $nK$ e' non vuoto per qualche $n$, si pone $\kappa(V)=-\infty$ altrimenti.
Se $V$ \`e una superficie, allora $\kappa(V)\in\{-\infty,0,1,2\}$ e
se $\kappa(V)=2$ la superficie si dice di tipo generale.
Le applicazioni $n$-canoniche
di una superficie di tipo generale
sono tutte birazionali per $n$ abbastanza grande,
diventa di conseguenza interessante studiare le applicazioni $n$-canoniche per valori
``bassi'' di $n$.

Nell'articolo \emph{L'application canonique pour les surfaces de type g\'en\'eral} ~\cite{Be2}
pubblicato nel 1979 da A. Beauville
viene studiata l'applicazione 1-canonica
o canonica.
Questa, se \`e non costante, pu\`o avere come immagine una curva
o una superficie.
Se l'immagine dell'applicazione canonica \`e una curva,
si dice che il sistema lineare canonico di una superficie $S$ \`e composto con un fascio.
In questo caso $\varphi_K$ si fattorizza tramite una fibrazione o fascio $f$,
cio\`e un morfismo surgettivo a fibre connesse
$$\varphi_K\colon S\stackrel{f}{\rightarrow}B\rightarrow \mathbb{P}^{p_g-1}$$
dove $B$ \`e una curva liscia.
Scriviamo $b$ per il genere di $B$, inoltre
le fibre lisce di $f$ hanno tutte lo stesso genere che indichiamo con $g$.
Come consuetudine, indichiamo con $q(S)$ l'irregolarit\`a,
ovvero la dimensione di $H^0(\Omega^1_S)$, dove $\Omega^1_S$
\`e il fascio dei germi di 1-forme olomorfe e
con $p_g$ il genere geometrico,
ovvero la dimensione di $H^0(\Omega^2_S)$.
La caratteristica di Eulero-Poincar\'e \`e $\chi=1-q+p_g$ .

Nel secondo capitolo dell'elaborato presentiamo tre importanti
risultati riguardanti superfici di tipo generale
il cui sistema canonico sia composto con un fascio.
Il primo proviene da ~\cite{Be2} di A. Beauville.

\begin{prop}\label{B}
Sia $S$ una superficie di tipo generale
con sistema canonico composto con un fascio di curve di genere $g$.\\
Se $\chi(\mathcal{O}_S)\geq21$ allora $2\leq g\leq5$
e il fascio non ha punti fissi.
\end{prop}

Il secondo e il terzo sono tratti rispettivamente da
\emph{L'irr\'egularit\'e des surfaces de type g\'en\'eral
dont le syst\`eme canonique est compos\'e d'un pinceau} ~\cite{GX1},
e da \emph{Irregularity of Surfaces with a Linear Pencil} ~\cite{GX2},
entrambi di G. Xiao.

\begin{teo}\label{X1}
Sia $S$ una superficie di tipo generale il cui sistema canonico
\`e composto con un fascio. Allora si verifica uno dei seguenti casi:
\begin{enumerate}
\item se $b>0$ allora $b=1$ e $q\left(S\right)=1$;
\item se $b=0$ allora $q\left(S\right)\leq2$.
\end{enumerate}
\end{teo}

\begin{teo}\label{X2}
Sia $S$ una superficie non rigata con un fascio lineare $\Lambda$ di curve di genere
$g$. Allora
$$q \leq \frac{1}{2}\left(g+1\right).$$
\end{teo}
Per il Teorema \ref{X1}, $b$ e $q$ possono assumere solo pochi valori
e per la Proposizione \ref{B}, se $p_g$ \`e abbastanza grande, anche per $g$
c'\`e solo un numero finito di possibilit\`a.\\


Nel terzo capitolo presentiamo cinque esempi di famiglie infinite di superfici.
Queste hanno $b$, $q$ e $g$ fissati e $p_g$ non limitato.
I primi quattro esempi provengono da ~\cite{Be2}.
Beauville costruisce un esempio per ogni coppia $(b,q)$
che verifica il Teorema \ref{X1}, pi\`u precisamente i valori di $b$, $q$ e $g$
sono $b=0,q=0,g=2$; $b=0,q=2,g=3$; $b=0,q=1,g=2$; $b=1,q=1,g=2$.
L'esistenza di tali esempi mostra che le limitazioni date nel
Teorema \ref{X1} sono le migliori possibili.\\
Osserviamo inoltre che la limitazione data
nel Teorema \ref{X2} diventa, per superfici di tipo generale,
$g\geq\min\{2,2q-1\}$ e, negli esempi presentati,
vale $g=\min\{2,2q-1\}$.\\
Il quinto esempio proviene da ~\cite{GX1}, si tratta di una famiglia infinita di superfici con
$b=1,q=1,g=3$.

Presentiamo infine un esempio originale di superficie
di tipo generale con sistema canonico composto con un
fascio.
Questa \`e ottenuta come rivestimento
doppio di una superficie di Godeaux,
per essa l'applicazione canonica \`e un fascio di curve di genere 9
ed ha $p_g=2$, $b=0$ e $q=0$.

Bibliografia

A. Beauville, L'application canonique pour les surfaces de type general, Inventiones Mathematicae, 55 (1979), 121-140.

G. Xiao, L'irregularite des surfaces de type general dont le systeme canonique est compose d'un pinceau, Compositio Mathematica, bfseries 57 (1985), 251-257.

G. Xiao, Irregularity of Surfaces with a Linear Pencil, Duke Math. J. 55 3 (1987), 596-602.