• Equazione del trasporto
• equazione del trasporto stocastica
• flussi stocastici

Lo scopo di questa tesi è quello di studiare l'equazione del trasporto deterministica e stocastica sotto ipotesi di scarsa regolarità dei coefficienti, e di mostrare che nel caso stocastico si possono ottenere risultati più forti. Nel primo capitolo, verranno dimostrati alcuni dei risultati presenti in letteratura sull'equazione deterministica. Nel secondo capitolo, basandosi sui risultati di F.Flandoli, M. Gubinelli e E. Priola, verrà introdotta l'equazione del trasporto stocastica, e ne verrà dimostrata l'unicità sfruttando l'esistenza di un flusso di diffeomorfismi stocastico per l'equazione differenziale stocastica associata. Si richiederà che il coefficiente sia Holderiano, ma con divergenza non necessariamente limitata, e dunque si otterrà l'unicità anche per coefficienti per cui nel caso deterministico esistono infinite soluzioni. Nel terzo capitolo verrà dimostrata l'esistenza di un flusso stocastico di diffeomorfismi, in dimensione uno, per una classe di coefficienti che comprende coefficienti discontinui. Nel quarto capitolo studieremo il problema dello zero-noise: considereremo l'equazione del trasporto stocastica, per cui esiste un'unica soluzione sotto condizioni per cui esistono infinite soluzioni per l'equazione deterministica, e daremo condizioni sufficienti affinché esista, in un senso che preciseremo, il limite di tali soluzioni. In questo modo selezioneremo una o più soluzioni dell'equazione deterministica tra le infinite esistenti. Infine nel quinto capitolo dimostreremo nuovamente l'unicità della soluzione dell'equazione del trasporto stocastica, ma con un'approccio diverso da quello seguito precedentemente. Le ipotesi sui coefficienti saranno simili a quelle formulate nel primo capitolo per l'equazione deterministica, ad eccezione della limitatezza della divergenza, che non verrà richiesta. Inoltre la dimostrazione dell'unicità, non basandosi sui flussi stocastici di diffeomorfismi, permetterà di comprendere meglio la natura dell'effetto regolarizzante del disturbo stocastico, o quanto meno di osservarla da un'ottica diversa.