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In questo elaborato studieremo delle proprietà di alcune algebre di matrici associate a trasformate trigonometriche e discuteremo il loro ruolo nella risoluzione del problema della rifocatura delle immagini digitali sfocatate.
Ovvero, data un'immagine sfocata, cercheremo di ricostruire l'immagine originale conoscendo a priori l'operatore di sfocatura.
Questo problema è reso attuale dallo sviluppo della fotografia digitale ed ha importanti applicazioni in campo medico ed astronomico. Per esempio, è molto importante che nelle analisi cliniche, quali TAC e risonanze magnetiche, le immagini delle lastre siano più nitide possibili per poter effettuare una diagnosi corretta, o, nel caso di immagini astronomiche, che le informazioni fornite da un telescopio siano sufficientemente dettagliate per poter analizzare la conformazione di una stella o di un pianeta. Nelle immagini effettuate nello spazio, gli stronomi cercano di rimuovere il disturbo causato dalla turbolenza atmosferica, che in parte è dovuta al mescolarsi di aria calda e fredda.
Quando la qualità dell'immagine è degradata da rumore e dalla non messa a fuoco, le nformazioni importanti rimangono nascoste e non possono essere interpretate correttamente senza un'elaborazione matematica svolta opportunamente mediante computer.
In letteratura, esistono molti elaborati che hanno trattato il problema della rifocatura delle mmagini digitali, come per esempio [1], [2], [20] e [21].
In questa tesi, ricondurremo il problema della rifocatura delle immagini digitali alla risoluzione di un sistema lineare dato da Avec(F) + vec(mu) = vec(G);
dove G è una matrice che rappresenta l'immagine sfocata, mu il possibile rumore aggiuntivo ed F è la matrice che rappresenta l'immagine originale.
Con queste notazioni, vec(X) è il vettore colonna ottenuto trasponendo e giustapponendo le righe della matrice X. Data l'immagine G, il nostro scopo sarà quello di ricavare F, anche in forma approssimata, conoscendo a priori la matrice A e disponendo solo di informazioni qualitative sul rumore mu.
Vedremo come, in questo sistema, il numero di equazioni risulti inferiore a quello delle incognite e per questo motivo introdurremo delle condizioni opportune che porteranno ad un nuovo sistema con egual numero di equazioni ed incognite. Queste condizioni, che coinvolgeranno le componenti del bordo dell'immagine ricostruita F, prendono il nome di Condizioni al Contorno.
Inoltre, a ciascuna di queste puo essere associata un'algebra di matrici.
In letteratura, sono state introdotte diverse tipologie di condizioni al contorno. In questa tesi, analizzeremo le condizioni al contorno di Dirichlet ([1] pp. 211-220), periodiche ([2] p. 258), riflettenti ([3] p. 855) ed antiriflettenti ([6] p. 1312). La matrice del sistema che si ottiene imponendo le condizioni periodiche e riflettenti, risulta appartenente all'algebra delle matrici iagonalizzabili rispettivamente tramite la Trasformata Discreta di Fourier e quella del coseno del III tipo (vedi [2] p. 258 e [3] p. 856). Inoltre, per quanto riguarda le condizioni al contorno antiriflettenti, la matrice del sistema così generato contiene una sottomatrice diagonalizzabile tramite la Trasformata Discreta del seno del I tipo (vedi [6] pp. 1313-1316). Per questo motivo,
abbiamo analizzato più in dettaglio queste Trasformate Discrete ed alcuni algoritmi veloci per il loro calcolo. Inoltre, abbiamo studiato altre note Trasformate Discrete Trigonometriche non utilizzate in letteratura per l'elaborazione di immagini digitali, ricavando da queste, in alcuni casi, delle condizioni al contorno da utilizzare per il problema della rifocatura.
Successivamente abbiamo analizzato diversi metodi risolutivi, alcuni diretti, sfruttando, per sempio, l'Inversa Generalizzata (vedi [12] p. 457) o invertendo le matrici generate imponendo le diverse condizioni al contorno, ed altri iterativi, legati all'utilizzo del gradiente coniugato precondizionato (vedi [12] pp. 272-283). Oltre ai metodi risolutivi, abbiamo studiato delle tecniche aggiuntive, quali la Regolarizzazione (vedi [19]) e il metodo della Risfocatura
(vedi [7], [8]). Inoltre, abbiamo realizzato un metodo innovativo per ridurre alcuni artefatti, noti come effetto Gibbs o ringing effects (vedi [16]), che si possono generare quando si calcola la soluzione. Abbiamo chiamato questa tecnica metodo del Bordo Aggiunto. Infine abbiamo effettuato degli esperimenti numerici per testare l'efficacia dei metodi e delle tecniche studiate nel testo.
La tesi è organizzata come segue. Nel Capitolo 1 analizzeremo il problema sia nel caso monodimensionale che in quello bidimensionale, mentre, nel Capitolo 2 studieremo le condizioni al contorno di Dirichlet, periodiche, riflettenti ed antiriflettenti e le relative matrici generate imponendo queste condizioni.
Nel Capitolo 3, invece, analizzeremo, sia nel caso monodimensionale che in quello N-dimensionale, le varie algebre matriciali associate alle Trasformate Discrete rigonometriche a cui appartengono le matrici generate dalle condizioni al contorno. Successivamente, studieremo le altre Trasformate Discrete Trigonometriche evidenziando la struttura delle matrici appartenenti all'algebra associata e, quando possibile, determinando le condizioni al contorno che ne derivano. Nel Capitolo 4 analizzeremo i metodi risolutivi e le tecniche aggiuntive elencate precedentemente. Infine, nel Capitolo 5 vedremo le sperimentazioni numeriche effettuate nalizzando i risultati ottenuti utilizzando alcune delle tecniche viste nei vari capitoli. In appendice sono riportati i programmi utilizzati per la sperimentazione numerica.