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La teoria geometrica dei gruppi studia certi grafi metrici, chiamati grafi di Cayley, associati a un gruppo finitamente generato. Più precisamente, il grafo di Cayley associato a un gruppo finitamente generato dipende dalla scelta di un sistema di generatori finito, anche se la geometria di larga scala del grafo non dipende da questa scelta.
Gli oggetti ai quali saremo maggiormente interessati sono i coni asintotici di gruppi relativamente iperbolici. Un gruppo relativamente iperbolico è un gruppo con le stesse proprietà geometriche dei gruppi fondamentali di varietà di curvatura negativa (per esempio, iperboliche) e volume finito. Ci sono molti esempi interessanti di varietà di questo tipo in dimensione 3. Per esempio, molti complementari di nodi ammettono una struttura iperbolica di volume finito (questi nodi sono detti iperbolici), così come molti fibrati su $S^1$ con fibra un superficie (di caratteristica di Eulero negativa). Il gruppo fondamentale di una varietà di curvatura negativa e volume finito è iperbolico relativamente ai suoi cusp subgroup. Per esempio, il gruppo fondamentale del complementare di un nodo iperbolico è iperbolico relativamente a un sottogruppo isomorfo a $Z\oplus Z$ (corrispondente al bordo di un intorno tubolare del nodo).
I coni asintotici sono "modi per guardare uno spazio metrico da infinitamente lontano". Non tengono in nessun conto le proprietà locali, ma spesso danno informazioni importanti sulla geometria di larga scala. Uno dei risultati principali che dimostreremo è il seguente (enunciato non nella piena generalità).

Se, per $i=1,2$, $G_i$ è iperbolico relativamente a $H_i$, e $H_1$ è quasi-isometrico a $H_2$, allora coni asintotici di $G_1$ e $G_2$ con lo stesso fattore di scala sono bilipschitz omeomorfi.