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Tesi etd-06052007-160606


Thesis type
Tesi di laurea vecchio ordinamento
Author
Tozzi, Raul
URN
etd-06052007-160606
Title
Immersioni aperte in dimensione infinita
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
Relatore Prof. Majer, Pietro
Relatore Prof. Abbondandolo, Alberto
Parole chiave
  • filtrazioni di Fredholm
  • teorema di Eells-Elworthy
  • categoria layer
  • operatori di Fredholm
  • teorema di Bessaga
  • teorema di Mukherjea-Quinn
  • immersione chiusa in dimensione infinita
  • varietà totalmente geodetica
  • intorno tubolare
  • spray
  • teorema di Kuiper
  • estensione degli omeomorfismi
  • geodetica
  • fibrati normali
  • varietà di Hilbert
  • omotopia in dimensione infinita
  • varietà di dimensione infinita
  • varietà di Banach
  • embedding aperto
  • immersione
  • isotopie di intorni tubolari
  • varietà Riemanniana
  • metrica Riemanniana
Data inizio appello
20/07/2007;
Consultabilità
parziale
Data di rilascio
20/07/2047
Riassunto analitico
L&#39;obiettivo principale di questa tesi è quello di approfondire <br>un importante risultato in analisi globale nell&#39;ambito delle varietà di dimensione infinita: <br>il teorema di embedding aperto di Eells-Elworthy. Esso asserisce che ogni varietà di classe <br>$C^\infty$, parallelizzabile, separabile, metrizzabile, modellata su uno spazio di Banach reale <br>di dimensione infinita, dotato di una base di Schauder può essere realizzata con un embedding <br>di classe $C^\infty$ come un sottoinsieme aperto dello spazio modello. <br>Particolare attenzione sarà rivolta al caso delle varietà modellate su uno spazio di Hilbert separabile, <br>essendo questo l&#39;ambito preferenziale di applicazione di questo teorema. <br>Saranno fornite alcune modifiche e semplificazioni alla dimostrazione originale del teorema <br>al fine di rendere le varie costruzioni il più possibile geometriche e chiare. <br><br>La prima parte della tesi è dedicata alla rivisitazione di alcuni contributi alla teoria <br>dell&#39;immersione prediligendo quei risultati con forti implicazioni topologiche che distinguono <br>gli spazi e le varietà di dimensione infinita dai corrispondenti oggetti finito-dimensionali. <br>Constateremo che la topologia differenziale in dimensione infinita è sostanzialmente diversa <br>e per certi aspetti è più semplice. Studieremo il teorema di Kuiper, secondo cui il gruppo generale <br>lineare di uno spazio di Hilbert reale $H$ di dimensione infinita è contraibile rispetto alla topologia <br>indotta dalla norma di $H$. In particolare, da questo teorema segue che il fibrato tangente di una varietà <br>modellata su uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è banale, è diffeomorfo cioè ad un prodotto. <br>Poiché sul teorema di Kuiper si basano alcune fondamentali costruzioni utili per la dimostrazione del teorema <br>di embedding aperto, abbiamo ritenuto opportuno dimostrare con tutti i dettagli almeno uno degli ingredienti <br>fondamentali per ottenere questo importante risultato. <br><br>Un altro teorema in questa direzione è il risultato di Bessaga, <br>secondo cui la sfera unitaria di uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è diffeomorfa all&#39;intero spazio. <br>Chiaramente questo teorema è falso in dimensione finita. <br>Analizzando l&#39;articolo originale di Bessaga si sono poi fornite alcune estensioni al caso delle varietà di Banach. <br><br>Completano questa panoramica una versione del teorema di Whitney in dimensione infinita <br>e la costruzione di una retrazione forte dalla palla unitaria chiusa sulla sfera unitaria di uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita.<br><br>La seconda parte della tesi sarà dedicata alla dimostrazione <br>del teorema di embedding aperto con particolare enfasi al <br>caso delle varietà Hilbertiane. In particolare, in virtù <br>di questo teorema sarà possibile dotare ogni siffatta <br>varietà della metrica piatta. <br>La dimostrazione del teorema di embedding aperto <br>può essere suddivisa in due parti: <br>(1) Processo di riduzione al caso finito-dimensionale. <br>(2) Raffinamento delle tecniche layer introdotte e <br>determinazione di un embedding aperto. L&#39;esposizione sarà <br>corredata di numerose osservazioni finalizzate all&#39;estensione <br>del teorema di embedding aperto nella generalità delle varietà di Banach. <br>Allo scopo di rendere la trattazione il più possibile autosufficiente, <br>per comodità del lettore sono presentate delle appendici. <br>Esse coprono vari argomenti tra i quali la teoria lineare <br>e non-lineare degli operatori di Fredholm, alcuni teoremi <br>di isotopia strettamente necessari per le costruzioni <br>utili per la dimostrazione del teorema di embedding aperto <br>e la nozione di intorno tubolare corredata dei teoremi di esistenza <br>ed unicità nella generalità delle varietà di dimensione infinita. <br>Scopo delle appendici è anche quello di approfondire ed <br>esemplificare la teoria esposta nei due capitoli iniziali.
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