• forma normale di Poincaré-Dulac
• forme normali
• campi vettoriali olomorfi
• decomposizione di Jordan-Chevalley

Lo scopo di questa tesi \`e discutere la teoria delle forme normali di campi vettoriali olomorfi locali singolari nell'origine di $\C^n$, presentando sia risultati recenti sulla normalizzazione olomorfa sia una sistematizzazione dei risultati classici sulla normalizzazione formale.

A questo fine iniziamo con la formalizzazione della teoria della forma normale di Jordan-Chevalley generalizzata ad algebre di Lie di dimensione infinita che siano limite proiettivo di algebre di Lie semi-semplici di dimensione finita. Ogni elemento di questa speciale classe di algebre di Lie, che chiameremo algebre di Lie filtrate semi-semplici, ammette una decomposizione unica come somma di un elemento semi-semplice con un elemento nilpotente che commutano, dove un elemento dell'algebra \`e detto semi-semplice [risp. nilpotente] se lo \`e, nel senso usuale, ristretto ad ogni algebra della filtrazione. Inoltre tale decomposizione \`e conservata dalla rappresentazione aggiunta e passando ad una qualsiasi rappresentazione dell'algebra che rispetti la filtrazione. La decomposizione ottenuta \`e detta ancora decomposizione di Jordan-Chevalley.

Poich\'e i campi vettoriali formali singolari nell'origine di $\C^n$, che indicheremo con $\widehat\X_n$, sono un'algebra di Lie filtrata, possiamo applicare la teoria vista e ottenere una decomposizione unica di Jordan-Chevalley per ogni campo vettoriale di $\widehat\X_n$.

Introduciamo dunque la cosiddetta forma normale di Poincar\'e-Dulac di un campo vettoriale. Un campo vettoriale $X$ di $\widehat\X_n$ \`e detto in forma normale di Poincar\'e-Dulac se \`e della forma
$$X= X^\s + X^\n,$$
dove $X^\s$ \`e un campo vettoriale lineare semi-semplice e$X^\n$ \`e un campo vettoriale che commuta con $X^\s$, \`e nilpotente ristretto ai $k$-getti $\X_n^k$ di campi vettoriali per ogni intero positivo $k$ e sar\`a detto risonante. Attraverso la teoria svolta sulla decomposizione di Jordan-Chevalley, possiamo inoltre dimostrare il seguente classico risultato sulla normalizzazione formale.

{\bf Teorema.} (Poincar\'e-Dulac, 1904) {\sl Sia $X$ un campo vettoriale di $\widehat\X_n$. Allora esiste un cambio di variabili formale che porta il campo $X$ in forma normale di Poincar\'e-Dulac.}

Indaghiamo quindi sulla normalizzazione olomorfa di campi vettoriali olomorfi locali nulli in $0$, che indichiamo con $\X_n$. Ci concentriamo su risultati recenti, ottenuti da Zung, che forniscono condizioni necessarie e/o sufficienti di tipo geometrico per l'esistenza di una normalizzazione olomorfa, in contrasto con le tecniche ormai classiche, dovute a Brjuno e altri, di sapore pi\`u analitico e di teoria dei numeri.

Nel 2002, Zung ha infatti dimostrato che l'esistenza di una coniugazione olomorfa equivale all'esistenza di un'azione locale olomorfa di un toro di dimensione dipendente solo dal termine lineare semi-semplice $X^\s$ di $X$, che fissi l'origine, preservi $X$ e tale che $X^\s$ appartenga alla sottoalgebra abeliana degli endomorfismi di $\C^n$ generata dalla parte lineare dell'azione. Oltre ad esporre in maniera esaustiva tale risultato, indaghiamo sulla necessit\`a dell'ultima ipotesi sull'azione, e presentiamo un'ulteriore condizione sufficiente, sempre dovuta a Zung, per l'esistenza di una siffatta azione per un campo $X$ di $\X_n$.