• discrete Morse theory
• dual block
• PL topology
• relationship
• smooth Morse theory

Il nostro lavoro si basa sul mostrare le relazioni tra Teoria di Morse continua e Teoria di Morse discreta. Per fare ciò inizieremo introducendo la Teoria di Morse continua basandoci prevalentemente sui lavori di Milnor degli anni ’50-’60 dello scorso secolo. In tale introduzione i nostri oggetti di studio saranno le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili su di esse che non posseggono punti critici degeneri. Data una varietà (differenziabile) M, la Teoria di Morse continua ci fornisce risultati interessanti dal punto di vista del tipo di omotopia di M, in particolare ci dice che se indichiamo con m(i) il numero di punti critici di indice i allora M è omotopicamente equivalente a un CW-complesso costituito da m(i) celle i-dimensionali ed è da tale risultato che ricaveremo inoltre le importanti Disuguaglianze di Morse, le quali ci forniscono un limite superiore per i numeri di Betti di M. Sarà nostro compito nel primo capitolo introdurre inoltre il potente strumento dell’h-cobordismo, il quale riesce a darci importanti risultati riguardo alle varietà differenziabili compatte. Ciò che avremo cura di mostrare è il forte legame tra Teoria di Morse continua definita su triadi differenziabili e l’h-cobordismo, in particolare come possano essere utilizzati i risultati trovati tramite la prima per darne altri per il secondo e viceversa. L’esempio forse più eclatante di questa relazione sono i due Teoremi:

Teorema.
Ogni cobordismo può essere espresso come composizione di c=c(0) c(1)...c(m)
Dove ogni cobordismo c(i) ammette una funzione di Morse con solo un livello critico e tutti i punti di indice k(i)

Teorema.
Data una funzione f di Morse sulla triade (M;V,V') esiste una funzione g di Morse tale che g sia auto-indicizzante ed inoltre se p è punto critico di indice i per f allora p è punto critico di indice i anche per g.

Tali teoremi enunciano la medesima proprietà, ma con linguaggi diversi, il primo del h-cobordismo, il secondo della Teoria di Morse continua. Concluderemo il capitolo mostrando che data una funzione di Morse sulla triade (M;V,V') il gruppo di omologia di M relativa a V è isomorfo al gruppo libero generato da m(i) elementi.

Passeremo dopo questa prima incursione nella Teoria di Morse continua ad illustrare la Teoria di Morse discreta come presentata da Forman negli anni ’80. I nostri oggetti di studio per la loro semplicità saranno i complessi simpliciali. Ci occuperemo dunque nel secondo capitolo di mostrare come attraverso un’adeguata definizione di funzione di Morse discreta si possano ricavare risultati decisamente simili a quelli ricavati nel caso continuo. Ad esempio è possibile
dimostrare che anche nel caso discreto dato un complesso simpliciale ed una funzione di Morse su di esso con m(i) punti critici di indice i allora tale complesso è omotopicamente equivalente a un CW-complesso con m(i) celle i-dimensionali, ed anche in questo caso potremo dedurre le Disuguaglianze di Morse che avranno espressione identica al caso continuo. Sempre in analogia al caso continuo introdurremo le funzioni di Morse discrete su triadi e mostreremo come dimostrare che ogni funzione di Morse f su una data triade cellulare possa essere deformata in modo tale che ogni punto critico di indice i abbia immagine i. Sarà nostra cura mostrare che i risultati sull’omologia di M, o di M relativa a V nel caso di triadi, sono analoghi, con le dovute distinzioni, al caso continuo. Facciamo notare inoltre che un nostro risultato sarà mostrare che le due definizioni di funzione di Morse presenti in letteratura sono equivalenti dal punto di vista dei risultati della Teoria discreta.

Avendo dunque introdotto entrambe le versioni della Teoria di Morse faremo una pausa prima di mostrare le relazioni fra di esse per dare una piccola introduzione della topologia PL. Daremo infatti le prime definizioni di tale topologia necessarie principalmente ad introdurre quello che viene chiamato “blocco duale di un complesso”, che nel caso PL si rivela essere anch’esso una varietà PL. In particolare un nostro risultato sarà mostrare come nel caso di una varietà PL
con bordo M il complesso biduale M∗∗ è omeomorfo PL ad M con un collare del bordo di M attaccato lungo il comune bordo. Termineremo mostrando come attraverso il complesso duale si possano enunciare dei teoremi che ricordano le dualità di Poincarè, nel caso di varietà chiuse, e di Lefschetz, nel caso di varietà con bordo.

Terminati questi tre capitoli saremo finalmente pronti ad enunciare le relazioni fra le due Teorie, basandoci sull’articolo di Benedetti [Ben13]. Per prima cosa mostreremo che presa una varietà differenziabile e una sua decomposizione in manici è sempre possibile trovare una funzione di Morse su di essa con tanti punti critici di indice i quanti sono gli i-manici nella decomposizione, e viceversa. In particolare se la dimensione è minore di 8 il Teorema di Kervaire-Milnor ci permette di trovare una decomposizione in manici PL compatibile con la decomposizione differenziabile. Per mostrare che se la varietà ha dimensione minore di 8 allora la Teoria di Morse continua e discreta su varietà PL coincidono, mostreremo che per le triangolazioni PL della varietà vi è una corrispondenza biunivoca tra decomposizione in manici e funzioni di Morse definite su una certa m-esima suddivisione baricentrica della triangolazione e grazie a tale risultato potremo passare sia nel caso continuo che nel caso discreto PL dalle funzioni di Morse alle decomposizioni in manici e dunque grazie al Teorema di Kervaire- Milnor ottenere l’equivalenza cercata. Concluderemo mostrando che in realtà le triangolazioni non-PL possono essere più utili di quelle PL. Forniremo una triangolazione non-PL della 5-sfera topologica che ammette una funzione di Morse perfetta, ossia con un solo punto critico interno, mentre il Teorema di Lickorish, Benedetti e Zigler ci dice che esiste una triangolazione PL della 5-sfera tale che nessuna delle sue suddivisioni baricentriche ammetta una funzione di Morse perfetta.