• algebre booleane
• assioma della scelta
• axiom of choice
• Banach-Tarski paradox
• boolean algebra
• estensione lineare
• Hahn-Banach theorem
• insieme non misurabile secondo Lebesgue
• paradosso di Banach-Tarski
• teorema di Hahn-Banach

Il teorema di Hahn-Banach è uno dei principali risultati dell’analisi funzionale
lineare. Esso garantisce l’estendibilità a tutto lo spazio di funzionali lineari limitati,
definiti in un sottospazio di uno spazio normato, mostrando in questo modo che vi
è una tale varietà e quantità di funzionali lineari e continui di un generico spazio
normato da rendere interessante lo studio degli spazi duali. L’impatto del teorema
di Hahn-Banach è di fondamentale rilevanza in molti settori dell’analisi matematica,
dall’analisi complessa alla teoria delle equazioni alle derivate parziali, dalla teoria
ergodica all’analisi convessa e all’ottimizzazione.
In questa tesi ci proponiamo di illustrare alcune conseguenze non convenzionali del
teorema di Hahn-Banach, come il paradosso di Banach-Tarski, di studiare opportune
condizioni sullo spazio normato su cui l’estensione lineare di Hahn-Banach è definita,
allo scopo di garantirne l’unicità, di analizzare il problema dell’estensione lineare
continua a tutto lo spazio di un funzionale definito su un sottospazio e a valori in
un generico spazio di Banach, esibendo alcuni controesempi e provando una precisa
caratterizzazione per gli spazi di arrivo del funzionale su cui l’enunciato di Hahn-
Banach è ancora valido.
I primi due capitoli sono dedicati all’analisi dei legami del teorema di Hahn-Banach
con altri significativi enunciati; vedremo in particolare il collegamento del teorema
con il paradosso di Banach-Tarski, da cui segue l’importante corollario di esistenza
di un insieme non misurabile secondo Lebesgue. Approfondiremo anche la relazione
con l’assioma della scelta, di cui il teorema di Hahn-Banach è conseguenza.
Il terzo e ultimo capitolo è rivolto alla ricerca e allo studio di condizioni sufficienti e
necessarie sugli spazi normati, tra cui il funzionale lineare è definito, affinché valgano
alcune varianti e generalizzazioni del teorema di Hahn-Banach.