• funzioni gap
• funzioni regolarizzate
• metodi di discesa
• problemi di equilibrio

Negli ultimi cinquant'anni, molti problemi di equilibrio noti in fisica e economia, e diversi e importanti problemi ingegneristici sono stati riformulati mediante le disequazioni variazionali, introdotte da Hartman e Stampacchia nel 1966.
La disequazione variazionale è un caso particolare del problema di equilibrio: data una funzione in due variabili, un problema di equilibrio consiste nel cercare un valore ammissibile per la prima variabile tale che la funzione sia sempre non negativa sulla regione ammissibile per ogni valore della seconda variabile.
Questo problema, così semplice da porre, permette di riformulare sia problemi teorici, come i problemi del punto fisso, che problemi concernenti le applicazioni come i problemi di equilibrio di Nash e gli ottimi di Pareto.

Più recente è la teoria sulle funzioni gap, inizialmente utilizzate in letteratura per le disequazioni variazionali.
Una funzione gap è una funzione che risulta essere maggiore o uguale di zero sull'insieme su cui è definito il problema di equilibrio ed è nulla solo e soltanto in corrispondenza di una soluzione.
Pertanto la minimizzazione della funzione gap è equivalente al problema dato.

Gli algoritmi risolutivi sono molti, ognuno con le sue peculiarità, che richiedono condizioni particolari sulla funzione gap per essere applicati.
È quindi importante studiare le proprietà delle funzioni gap, in particolare la differenziabilità.
Per ottenere la differenziabilità delle funzioni gap è utile introdurre problemi di equilibrio ausiliari, ottenuti regolarizzando in modo opportuno la funzione che definisce il problema di equilibrio.

Con l'introduzione del problema ausiliario e della relativa funzione gap è possibile trasformare il problema di equilibrio iniziale in un problema di minimizzazione di una funzione differenziabile.
Per risolvere questo problema di minimizzazione, tra gli algoritmi risolutivi, abbiamo scelto i metodi di discesa.
Ad ogni passo dell'algoritmo si sceglie una direzione di discesa, in cui la funzione gap decresce, e ci si sposta lungo quella direzione.
Gli algoritmi di discesa si dividono in due gruppi, quelli con ricerca esatta e quelli con ricerca inesatta.
Nel primo caso, ad ogni passo si cerca il minimo della funzione nella direzione di discesa; nel secondo, invece, ci si sposta lungo la direzione di discesa di un certo valore (detto ``passo''), opportunamente scelto.

Particolare importanza assume quindi il Rate of convergence e l'Error bound associato ai problemi di equilibrio, ossia rispettivamente la velocità di convergenza e le limitazioni del valore della distanza di un generico punto dalla soluzione ottima del problema.