• asset pricing
• risk-neutral
• arbitraggio

Uno dei risultati piu' importanti della Finanza Matematica e' il cosiddetto Primo Teorema Fondamentale della valutazione degli attivi, o Asset Pricing: la tesi del teorema e' che l'impossibilita' di poter fare arbitraggi (N.A.) e l'esistenza di una misura di probabilita' Q
sotto la quale il processo S considerato, da interpretare come un asset finanziario attualizzato, e' una martingala, sono fatti sostanzialmente equivalenti.
L'importanza di un risultato simile da un punto di vista economico deriva dal fatto che la conoscienza di una probabilita' martingala permette di fare pricing di derivati con sottostante il processo S semplicemente calcolando valori attesi dei payoff di tali derivati sotto Q.
Pertanto, se si riesce a caratterizzare l'esistenza di un simile strumento con l'assenza di arbitraggi, condizione che si suppone naturale in un mercato, si e' virtualmente in grado di fare pricing in ogni situazione.
Come corollario di questo teorema abbiamo il Teorema di Super Replicazione, che stabilisce, per un dato attivo aleatorio, l'uguaglianza fra l'estremo superiore dei prezzi di non arbitraggio
e l'estremo inferiore dei prezzi delle strategie di copertura.
Nei modelli a tempi finiti teorema e corollario sono veri, senza alcun bisogno della parola "sostanzialmente", precisando che Q e' equivalente a P.
Il teorema nei modelli a tempi continui e' falso, nel senso che l'implicazione non banale, ovvero la sufficienza della condizione di N.A., e' falsa, come si dimostra grazie al controesempio di Stricker.
Tuttavia, esiste una generalizzazione del teorema dovuta a F. Delbaen e W. Schachermayer:
mettendo come ipotesi che il processo S sia una semimartingala limitata si riesce a dimostrare che l'esistenza di una probabilita' martingala equivalente e' caratterizzata dalla condizione
"no free lunch with vanishing risk", piu' forte della condizione N.A.
Ogni modello e' imperfetto per definizione, e dunque e' naturale adottare un punto di vista, dovuto a M.H.A. Davis e D. Hobson, che consiste nel considerare un insieme di derivati assegnati sul medesimo stock, senza alcun modello, e osservare che ci sono tre situazioni mutualmente esclusive:
- esistenza di un arbitraggio model-indipendent;
- opportunit\`{a} di arbitraggio model-dependent;
- consistenza con assenza di arbitraggio.
Viene fornita una caratterizzazione nel caso di un insieme finito di opzioni call.
Grazie ad un recente lavoro di W. Schachermayer,
la prima delle tre condizioni si riesce a caratterizzare, si puo' dare una versione del Teorema Fondamentale dell'Asset Pricing model-indipendent: fissato un insieme di derivati, si definiscono le "probabilita' martingale ammissibili" e si caratterizza l'esistenza di una di esse con l'assenza di un arbitraggio model-indipendent; inoltre si puo' dare una versione model-free del Teorema di Super Replicazione che stabilisce che l'estremo superiore dei prezzi di non arbitraggio e' addirittura un massimo.