• problema duale e primale
• problemi di ottimizzazione stocastica
• utility inddiference price

Storicamente il primo modello per la valutazione dei prodotti derivati risale al 1973 quando F. Black e M. Scholes pubblicarono un articolo sulla base degli studi precedenti di P. Samuelson e R. Merton. La loro idea consisteva nel considerare un mercato nel quale fossero presenti un bond, ovvero un attivo privo di rischio, e un attivo con rischio; il loro scopo era valutare alcuni derivati (chiamati anche claim), più precisamente delle opzioni, il cui valore finale dipendesse solo dall'attivo con rischio. Inoltre essi supposero che nel mercato non ci fossero possibilità di arbitraggio, ovvero che non fosse possibile avere un guadagno immediato e senza rischio. Essi modernizzarono i due attivi tramite due processi stocastici a tempi continui la cui dinamica era definita da equazioni differenziali stocastiche a parametri costanti.
Successivamente alcuni teorici si accorsero che il modello dei due economisti non erano del tutto corretto; allora nell'arco di una decina di anni si susseguirono molte generalizzazioni del modello di Black e Scholes, in cui da prima si considerarono dinamiche con parametri non più costanti, ma dipendenti dal tempo; e successivamente alcuni studiosi proposero modelli a volatilità stocastica. Tali modelli risolvono alcuni dei problemi presenti nel modello di Black Scholes, ma hanno il grosso svantaggio di non essere completi. Un modello o un mercato si dice completo se è possibile replicare ogni derivato o più in generale ogni attivo aleatorio, ovvero se è possibile costruire un portafoglio di titoli azionari in modo tale che il suo valore finale sia uguale a quello dell'attivo aleatorio che si vuole valutare.
Come dimostreremo, nei mercati completi esiste un unico prezzo di non arbitraggio, mentre in quelli incompleti ne esistono molti, e dunque si pone il problema di capire quale scegliere per valutare l'attivo in questione. L'uso dei modelli incompleti potrebbe sembrare quindi una complicazione inutile nello studio della valutazione degli attivi, ma non è così; infatti tali modelli sono molto più realistici di quelli completi.
Premesso ciò, lo scopo di questa tesi è descrivere un metodo per la valutazione dei prodotti derivati quando il mercato non è completo; in particolare sceglieremo come fattore discriminante fra i vari prezzi di non arbitraggio l'utilità che l'investitore ha nel possedere o meno l'attivo aleatorio.
Quando un investitore vuole valutare un claim in una situazione rischiosa solitamente egli si pone in una condizione di avversione al rischio, ovvero una situazione nella quale egli preferisca incassare una quantità certa, piuttosto che una quantità, magari maggiore, ma incerta. Questo concetto viene formalizzato tramite le funzioni di utilità, cioè funzioni $U$ regolari e a valori reali che siano crescenti e convesse; più precisamente il numero U(x) rappresenta l'utilità che l'investitore ha nel possedere la quantità x.
Dunque tra i vari prezzi di non arbitraggio sceglieremo quello per cui, dal punto di vista dell'utilità attesa, per l'investitore sia equivalente non possedere l'attivo aleatorio, e quindi non ricevere il payoff alla scadenza, e investire tutto il suo capitale in titoli, o possedere l'attivo, ma investire un capitale inferiore (ciò che rimane dall'acquisto del claim) in titoli con e senza rischio.
Per formalizzare questo concetto introduciamo la seguente funzione
V_C(x,k)=sup E[U(X_T+kC_T)],
che rappresenta il massimo dell'utilità attesa che l'investitore può realizzare possedendo un portafoglio $X$ il cui valore iniziale sia x (e quello finale X_T) e investendo in k unità di attivo aleatorio C_T. Allora definiamo il prezzo di k unità di attivo aleatorio come il numero p(k) tale che
V_C(x-p(k),k)=V_C(x,0);
dunque quello che ci proponiamo di fare in questa tesi è risolvere l'equazione sopra per determinare il prezzo p(k). Per farlo dobbiamo inizialmente determinare la funzione valore V_C(x,k) e successivamente risolvere l'equazione vera e propria.
Il punto più ostico consiste proprio nel calcolare la funzione valore, perché si tratta di risolvere un problema di ottimizzazione stocastica, che non sempre ammette una soluzione semplice. Molto spesso quando questo problema è troppo difficile da risolvere direttamente, si passa al cosiddetto problema duale associato. Quest'ultimo è sempre un problema di ottimizzazione, ma generalmente più semplice da risolvere ed è legato al problema primale (ovvero quello originale) in modo tale che sia possibile ricavare le soluzioni primali da quelle duali.