• Problema dei tre corpi ristretto
• collisioni
• regolarizzazione KS
• equazione di Hamilton-Jacobi

In questo elaborato si presenta l'integrabilità locale del problema dei tre corpi circolare ristretto, in un intorno delle sue singolarità collisionali. Dapprima viene trattato il problema piano, studiato da Tullio Levi-Civita nel 1906, il quale ha dimostrato, mediante il Teorema di Cauchy-Kowalewski, l'esistenza locale in un intorno delle collisioni di un integrale completo dell'equazione di Hamilton-Jacobi associata alla hamiltoniana regolarizzata. Successivamente si affronta il problema spaziale degli incontri ravvicinati rimasto aperto per oltre cento anni e risolto recentemente da Franco Cardin e Massimiliano Guzzo. Cardin e Guzzo sono riusciti a generalizzare al caso spaziale la dimostrazione di Levi-Civita, risolvendo le difficoltà che derivano dall'uso della naturale generalizzazione della regolarizzazione di Levi-Civita, quella di Kustaanheimo-Stiefel (KS). Una formula esplicita per l'integrale completo non esiste: in questa tesi presentiamo un'approssimazione di questo integrale avente precisione arbitraria, implementando con il Software Maple 2019.0 un programma che, a partire dall'equazione di Hamilton-Jacobi, calcola i coefficienti del suo sviluppo in serie di Taylor fino all'ordine desiderato. Inoltre, la trasformazione KS non è invertibile globalmente, per cui è stata affrontata anche la questione dell'esistenza di integrali primi cartesiani globalmente definiti in un intorno dell'insieme collisionale. Resta però ancora aperta una questione cruciale che potrebbe avere dei significativi risvolti in ambito applicativo: stimare il dominio di analiticità dell'integrale completo per capire se è sufficientemente grande, in modo da applicare la teoria a situazioni realistiche dove si considera l'estensione fisica del corpo con cui si ha l'incontro ravvicinato. Se così fosse, questa teoria potrebbe essere usata per un calcolo più accurato delle orbite soggette ad incontri ravvicinati, che sono responsabili dei fenomeni caotici nel problema dei tre corpi ristretto.