ETD system

Electronic theses and dissertations repository

 

Tesi etd-05242004-142751


Thesis type
Tesi di laurea vecchio ordinamento
Author
Torrente, Maria-Laura
email address
torrente@mail.dm.unipi.it
URN
etd-05242004-142751
Title
Decomposizione di algebre
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
Relatore Prof. Gianni, Patrizia
Parole chiave
  • decomposizione di algebre
  • algebre
  • algebre semisemplici
  • algebre separabili
  • sollevamento henseliano
  • idempotenti
Data inizio appello
10/06/2004;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
In questa tesi affrontiamo il problema della decomposizione <br>di K--algebre associative di dimensione finita, dove <br>K `e un qualunque campo finitamente generato su F_q, campo finito di<br>caratteristica p e con q=p^k elementi, o sul campo Q dei numeri razionali.<br>Poich&#39;e ogni campo K che soddisfi tali condizioni puo&#39; essere <br>espresso come un&#39;estensione trascendente finitamente generata di F_q o di<br>Q, seguita da un&#39;estensione puramente algebrica cite{L1}, ogni <br>K--algebra di dimensione n risulta isomorfa ad un&#39;algebra di dimensione<br>ns su un&#39;estensione puramente trascendente di F_q o di<br>Q, dove s indica il grado dell&#39;estensione algebrica. <br><br>In virtu&#39; di tale isomorfismo il problema della determinazione <br>della decomposizione di un&#39;algebra su un qualunque campo finitamente generato<br>su F_q o su Q e&#39; percio&#39; completamente risolto qualora si sappiano <br>decomporre algebre di dimensione finita su estensioni puramente<br>trascendenti di F_q o di Q. <br><br>Descriveremo quindi come determinare <br>la decomposizione di K(x_1,..,x_m)--algebre associative<br>di dimensione finita (K=F_q o K=Q) non necessariamente commutative.<br><br>Dopo aver provato come sia sempre possibile ridursi al caso di algebre <br>commutative e separabili, il problema della <br>decomposizione di un&#39;algebra A puo&#39; essere ricondotto <br>a quello della costruzione di una famiglia u_1,ldots,u_n di idempotenti <br>non banali, primitivi di A e tali che sum_i u_i =1. <br><br>Nel caso di F_q-algebre gli idempotenti primitivi possono essere <br>co-stru-i-ti utilizzando le proprieta&#39; dell&#39;endomorfismo di Frobenius<br>varphi_q(a)=a^q e dell&#39;algebra A^{varphi_q} degli elementi di <br>A lasciati<br>fissi da varphi_q oppure riducendo il problema alla determinazione della<br>fattorizzazione su campi finiti di opportuni polinomi.<br><br>Gli idempotenti cosi&#39; determinati sono poi usati per ricostruire una <br>famiglia di idempotenti primitivi per l&#39;algebra data e quindi per determinarne<br>una decomposizione.<br><br>La ricostruzione avviene attraverso un procedimento di sollevamento <br>hen-se-lia-no che, dato un elemento u in A idempotente modulo un <br>opportuno ideale I^h (i.e. tale che u^2-u equiv 0 mod I^h), <br>costruisce un unico elemento v in A tale che v equiv u mod I^h e<br>v^2-v equiv 0 mod I^{2h}.<br><br>Naturalmente per terminare il processo di ricostruzione e&#39; necessario <br>ca-rat-te-riz-za-re<br>i coefficienti degli idempotenti di A sia in termini del loro mo-du-lo <br>(nel caso di Q) sia in termini dei loro gradi (nei casi <br>F_q(x_1,ldots,x_m) e Q(x_1, ldots, x_m)). In questo modo<br>e&#39; possibile decidere per quale valore di h sospendere il sollevamento<br>e, dopo aver eventualmente ricombinato gli idempotenti mod I^h,<br>riconoscere gli idempotenti su A.<br><br>La tesi e&#39; cosi&#39; strutturata: dopo una breve ricapitolazione<br>di alcune de-fi-ni-zio-ni e risultati che saranno utilizzati nel seguito <br>(capitolo 1), dimostriamo nel capitolo 2 come sia possibile <br>ridursi al caso di algebre commutative e se-pa-ra-bi-li. Sempre <br>nello stesso capitolo colleghiamo il problema della <br>decomposizione di un&#39;algebra alla ricerca degli elementi idempotenti <br>della stessa.<br><br>Nel capitolo 3, dopo una breve illustrazione delle tecniche modulari,<br>definiamo il sollevamento quadratico henseliano degli idempotenti e<br>diamo una prima caratterizzazione degli idempotenti di <br>algebre separabili.<br><br>Mostriamo nel capitolo 4 due metodi di decomposizione per algebre <br>de-fi-ni-te su campi finiti: il primo, dovuto a P. Gianni, V. Miller e <br>B. Trager, cite{GMT} e&#39; basato sulle proprieta&#39; dell&#39;endomorfismo <br>di Frobenius varphi_q(a)=a^q; il secondo, dovuto a K. Friedl e <br>L.Ronyai cite{FR}, riconduce <br>il problema della decomposizione alla fattorizzazione di polinomi su <br>campi finiti.<br><br>Nei capitoli 5 e 6 stabiliamo delle stime per i coefficienti <br>degli elementi idempotenti in termini del loro modulo o<br>dei loro gradi, in modo da definire dei criteri<br>per l&#39;interruzione del processo di sollevamento e per ottenere <br>la decomposizione dell&#39;algebra data.<br><br>Concludiamo infine la trattazione con il capitolo 7 che e&#39; dedicato <br>alle applicazioni: sara&#39; evidente grazie ad alcune di esse il legame tra <br>la decomposizione di algebre e la fattorizzazione di polinomi.
File