• algebre
• algebre semisemplici
• algebre separabili
• decomposizione di algebre
• idempotenti
• sollevamento henseliano

In questa tesi affrontiamo il problema della decomposizione
di K--algebre associative di dimensione finita, dove
K `e un qualunque campo finitamente generato su F_q, campo finito di
caratteristica p e con q=p^k elementi, o sul campo Q dei numeri razionali.
Poich'e ogni campo K che soddisfi tali condizioni puo' essere
espresso come un'estensione trascendente finitamente generata di F_q o di
Q, seguita da un'estensione puramente algebrica cite{L1}, ogni
K--algebra di dimensione n risulta isomorfa ad un'algebra di dimensione
ns su un'estensione puramente trascendente di F_q o di
Q, dove s indica il grado dell'estensione algebrica.

In virtu' di tale isomorfismo il problema della determinazione
della decomposizione di un'algebra su un qualunque campo finitamente generato
su F_q o su Q e' percio' completamente risolto qualora si sappiano
decomporre algebre di dimensione finita su estensioni puramente
trascendenti di F_q o di Q.

Descriveremo quindi come determinare
la decomposizione di K(x_1,..,x_m)--algebre associative
di dimensione finita (K=F_q o K=Q) non necessariamente commutative.

Dopo aver provato come sia sempre possibile ridursi al caso di algebre
commutative e separabili, il problema della
decomposizione di un'algebra A puo' essere ricondotto
a quello della costruzione di una famiglia u_1,ldots,u_n di idempotenti
non banali, primitivi di A e tali che sum_i u_i =1.

Nel caso di F_q-algebre gli idempotenti primitivi possono essere
co-stru-i-ti utilizzando le proprieta' dell'endomorfismo di Frobenius
varphi_q(a)=a^q e dell'algebra A^{varphi_q} degli elementi di
A lasciati
fissi da varphi_q oppure riducendo il problema alla determinazione della
fattorizzazione su campi finiti di opportuni polinomi.

Gli idempotenti cosi' determinati sono poi usati per ricostruire una
famiglia di idempotenti primitivi per l'algebra data e quindi per determinarne
una decomposizione.

La ricostruzione avviene attraverso un procedimento di sollevamento
hen-se-lia-no che, dato un elemento u in A idempotente modulo un
opportuno ideale I^h (i.e. tale che u^2-u equiv 0 mod I^h),
costruisce un unico elemento v in A tale che v equiv u mod I^h e
v^2-v equiv 0 mod I^{2h}.

Naturalmente per terminare il processo di ricostruzione e' necessario
ca-rat-te-riz-za-re
i coefficienti degli idempotenti di A sia in termini del loro mo-du-lo
(nel caso di Q) sia in termini dei loro gradi (nei casi
F_q(x_1,ldots,x_m) e Q(x_1, ldots, x_m)). In questo modo
e' possibile decidere per quale valore di h sospendere il sollevamento
e, dopo aver eventualmente ricombinato gli idempotenti mod I^h,
riconoscere gli idempotenti su A.

La tesi e' cosi' strutturata: dopo una breve ricapitolazione
di alcune de-fi-ni-zio-ni e risultati che saranno utilizzati nel seguito
(capitolo 1), dimostriamo nel capitolo 2 come sia possibile
ridursi al caso di algebre commutative e se-pa-ra-bi-li. Sempre
nello stesso capitolo colleghiamo il problema della
decomposizione di un'algebra alla ricerca degli elementi idempotenti
della stessa.

Nel capitolo 3, dopo una breve illustrazione delle tecniche modulari,
definiamo il sollevamento quadratico henseliano degli idempotenti e
diamo una prima caratterizzazione degli idempotenti di
algebre separabili.

Mostriamo nel capitolo 4 due metodi di decomposizione per algebre
de-fi-ni-te su campi finiti: il primo, dovuto a P. Gianni, V. Miller e
B. Trager, cite{GMT} e' basato sulle proprieta' dell'endomorfismo
di Frobenius varphi_q(a)=a^q; il secondo, dovuto a K. Friedl e
L.Ronyai cite{FR}, riconduce
il problema della decomposizione alla fattorizzazione di polinomi su
campi finiti.

Nei capitoli 5 e 6 stabiliamo delle stime per i coefficienti
degli elementi idempotenti in termini del loro modulo o
dei loro gradi, in modo da definire dei criteri
per l'interruzione del processo di sollevamento e per ottenere
la decomposizione dell'algebra data.

Concludiamo infine la trattazione con il capitolo 7 che e' dedicato
alle applicazioni: sara' evidente grazie ad alcune di esse il legame tra
la decomposizione di algebre e la fattorizzazione di polinomi.