• anomaly
• renormalization group
• Weyl symmetry

Sistemi statistici che attraversano una transizione di fase continua acquisiscono una lunghezza di correlazione divergente e quindi mostrano invarianza di scala. I punti in cui avvengono queste transizioni sono noti come punti critici e risultano essere punti fissi delle trasformazioni del Gruppo di Rinormalizzazione (RG). In questi casi, il comportamento del sistema può essere descritto da una teoria quantistica di campo che mostra invarianza di scala.

Le teorie di campo continue che descrivono i loro punti critici spesso acquisiscono, attraverso l'unitarietà, una simmetria conforme, invarianza sotto trasformazioni che preservano gli angoli, permettendo l'uso di vari strumenti teorici per caratterizzarle.

D'altra parte, molte teorie effettive in fisica delle basse energie e modelli oltre il Modello Standard mostrano solo l'invarianza di scala e non l'invarianza conforme in un punto fisso del Gruppo di Rinormalizzazione, principalmente a causa della mancanza di unitarietà.

Lo scopo di questo lavoro è elaborare metodi teorici per descrivere modelli invarianti di scala e rivelare somiglianze e differenze con le controparti conformi.

Rivisitiamo una versione gauged della simmetria di Weyl che descrive naturalmente teorie invarianti di scala nel limite di spazio piatto e impieghiamo tecniche del Gruppo di Rinormalizzazione Locale per analizzare la sua anomalia. Questa procedura comporta l'introduzione di un campo di gauge che origina una corrente viriale, identificata con la corrente di dilatazione di Weyl.

Attraverso la nostra indagine, scopriamo condizioni di consistenza tra i coefficienti dell'anomalia, insieme a un'equazione di flusso per uno di essi analoga alla funzione C tra teorie di campo conformi. Inoltre, vengono stabilit collegamenti tra i coefficienti dell'anomalia e varie funzioni a due punti, tra cui quelle del tensore energia-impulso, degli operatori marginali e della corrente di dilatazione. Questi risultati dipendono dai coefficienti dei termini dell'anomalia, influenzati dal campo di gauge e fondamentalmente diversi da quelli del modello di Weyl.

Inoltre, viene tracciata l'evoluzione di queste funzioni a due punti lungo il flusso RG, rivelando la loro dipendenza da tensori adimensionali definiti solo nello spazio RG. Nel tentativo di estendere il Teorema C, incontriamo un ostacolo: la non positività della metrica dovuta all'assenza di unitarietà nella teoria. La monotonicità della funzione C è quindi impedita. L'assenza di unitarietà è implicita, poiché la sua presenza causerebbe alla teoria di raggiungere una piena invarianza conforme.

Uno studio comologico dell'anomalia è stato effettuato, al fine di rivelare le sue classi di equivalenza comologiche, permettendo l'integrazione dell'anomalia e la derivazione dell'azione efficace che la genera. L'azione efficace risultante assomiglia all'azione di Polyakov, con notevoli aggiunte di termini dipendenti dal campo di gauge. Questo risultato era previsto, considerando la dipendenza dei correlatori dai termini legati al campo di gauge.

Infine, applichiamo questi risultati per analizzare modelli invarianti di scala ma non conformi, ossia la teoria dell'elasticità di Cardy-Riva e due distinte teorie efficaci per le membrane cristalline: un modello ultravioletto (UV) e un modello infrarosso (IR). Il modello UV presenta un campo vettoriale di fononi che descrivono le fluttuazioni della membrana e un fononi scalari per le fluttuazioni longitudinali, mentre il modello IR è un modello di interazione tra curvature gaussiane che descrive il comportamento della membrana attraverso interazioni a lungo raggio tra le curvature. In entrambi i casi, estraiamo l'anomalia utilizzando metodi di Heat Kernel e utilizziamo i suoi coefficienti per esaminare la funzione C e i cambiamenti nei gradi di libertà lungo il flusso RG.




Statistical systems undergoing a continuous phase transition acquire a diverging correlation length and therefore display scale invariance.
The points at which these transitions occur are known as critical points, and they happen to be fixed points of the Renormalization Group
transformations. In those instances, the system's behavior can be described by a quantum field theory that displays scale invariance as well.


The continuous quantum field theories that describe their critical point often acquire, through unitarity, full conformal symmetry,
invariance under angle-preserving transformations, allowing for the use of various theoretical tools to characterize them.

On the other hand, many effective field theories in low-energy physics and models in beyond the Standard Model display only scale invariance
and not full conformal invariance at a Renormalization Group (RG) fixed point, mostly due to the lack of unitarity.

The scope of this work is to devise theoretical ways to describe scale invariant models and unveil similarities and differences with the conformal
counterparts.

We revisit a gauged version of Weyl symmetry that naturally describes scale-invariant theories in the flat space limit and employ Local
Renormalization Group techniques to analyze its anomaly. This procedure involves introducing a gauge field sourcing a virial current,
which is identified with the Weyl's dilation current.

Through our investigation, we uncover consistency conditions among the anomaly coefficients, along with a flow equation for one of them
analogous to the C-function between conformal field theories.
Additionally, we establish connections between the anomaly coefficients and various two-point functions,
including those of the energy-momentum tensor, marginal operators, and the dilation current.
Notably, these findings are contingent upon the anomaly terms' coefficients, which are influenced by the gauge field and fundamentally differ
from those of the Weyl model.

Furthermore, we undertake the task of tracing the evolution of these two-point functions along the RG flow,
revealing their dependency on dimensionless tensors defined solely on the RG space.
In an attempt to extend the C-Theorem, we encounter an obstacle: the non-positivity of the metric due to the absence of unitarity in the theory.
The monotonicity of the C-function is thus impeded. The absence of unitarity is implied, since its presence would cause the theory to achieve
full conformal invariance.

A cohomological study of the anomaly was carried out to reveal its cohomological equivalence classes,
allowing the integration of the anomaly and derivation of the effective action that generates it.
The resulting effective action resembles the Polyakov action, with notable additions of terms dependent on the gauge field.
This outcome was anticipated, considering the correlators' dependence on gauge field-related terms.

Finally, we apply these findings to analyze scale but not conformal invariant models, namely the Cardy-Riva theory of elasticity and two distinct
effective theories for crystalline membranes—an ultraviolet (UV) model and an infrared (IR) model.
The UV model features a vector phonon field for membrane fluctuations and a scalar phonon field for longitudinal fluctuations,
while the IR model is a Gaussian Curvature Interaction model that describes membrane behavior through long-scale interactions between curvatures.
In both cases, we extract the anomaly using Heat Kernel methods and utilize its coefficients to examine the C-function and changes in the
degrees of freedom along the RG flow.