• volatilita' stocastica
• modelli Black-Scholes
• modelli per i tassi di interesse

La tesi affronta l’argomento dei modelli per i tassi di interesse a volatilità stocastica. Dopo una serie di prime definizioni fondamentali, si analizza il modello di Black-Scholes in cui si suppone che il mercato sia caratterizzato da due attivi, uno senza rischio e uno con rischio la cui dinamica segue un’equazione differenziale stocastica in cui la volatilità è costante. Si studiano poi le opzioni europee: contratti basati sull’attivo con rischio e si determina il valore di tali opzioni. Successivamente si descrive il mercato dei bond, che modellizziamo attraverso lo studio della dinamica del tasso a breve sotto la probabilità martingala equivalente scelta dal mercato e che segue un’equazione differenziale con volatilità costante. La volatilità costante, sia nel modello di Black-Scholes che nei modelli basati sul tasso a breve, seppur utile a livello dei conti matematici, non risulta pienamente soddisfacente. L’obiettivo è allora riconsiderare quanto spiegato finora e supporre che la volatilità sia un processo stocastico. Si considera il modello di Black-Scholes e si suppone che la volatilità sia un processo stocastico, o meglio si suppone inizialmente che la volatilità sia una funzione di un processo di mean reverting e in seguito che sia funzione di due processi mean reverting opportuni. A questo punto si considera una delle infinite probabilità martingale e sotto di essa si valuta il prezzo delle opzioni europee. Attraverso un’opportuna scomposizione dell’operatore differenziale che ci fornisce il prezzo si calcolano due approssimazione di tale prezzo e si calcola l’ordine di tale approssimazioni, infine si dà un’espressione esplicita di tale approssimazioni. In conclusione si considerano due modelli basati sul tasso a breve, il modello di Vasicek e il modello CIR, quando la volatilità è stocastica e si costruiscono delle approssimazioni analoghe a quelle trovate per i modelli tipo Black-Scholes, che avranno quindi lo stesso ordine, per i modelli tipo Vasicek e CIR.