In un recente articolo P. de Bartolomeis e A. Tomassini introducono una nuova generalizzazione della struttura Calabi-Yau nel contesto della Geometria Simplettica. Essi danno la seguente definizione:
Una varietà di Calabi-Yau Generalizzata è una varietà simplettica dotata di una struttura quasi complessa compatibile e di una forma volume complessa parallela rispetto alla connessione di Chern.
In dimensione reale 6 tale definizione può essere migliorata richiedendo che la parte reale del volume complesso sia una calibrazione sulla varietà ambiente. Queste strutture vengono chiamate: Calabi-Yau Generalizzate Speciali .
Nella tesi vengono affrontate le seguenti problematiche:
a) Lo studio dello spazio dei moduli delle strutture quasi complesse calibrate da una forma simplettica che ammettono una struttura Calabi-Yau generalizzata;
b) Lo studio approfondito del caso 6-dimensionale;
c) Lo studio del caso di dimensione dispari.
Per quanto riguarda il punto a) viene data una descrizione esplicita dello spazio tangente allo spazio dei moduli e viene studiato in modo approfondito il caso del toro complesso.
Per quanto riguarda il punto b) si descrive il tensore di Ricci di una varietà di Calabi-Yau generalizzata speciale in funzione della torsione della SU(3)-struttura associata. Le formula trovata permette di mettere in luce alcune proprietà metriche di queste strutture.
Infine viene introdotta la nozione di struttura Calabi-Yau su una varietà (2n+1)-dimensionale come di una struttura Sasakiana dotata di una forma complessa trasversa parallela. Alcune analogie con in caso classico vengono evidenziate e si dimostra un analogo del teorema di Mcklean.
