• campo autoconsistente
• metodo shooting
• metodo variazionale
• Schrödinger-Newton

L’equazione di Schrödinger-Newton si ottiene inserendo il potenziale gravitazionale classico nell’equazione di Schrödinger, descrive quindi l’interazione di una particella con il suo stesso campo gravitazionale dovuto alla propria distribuzione di massa.
Il potenziale è attrattivo, tende a zero all’infinito e dipende dalla distribuzione di densità di massa, che è il modulo quadrato della funzione d’onda, il problema per questo motivo è di tipo non lineare.
Lo scopo di questo lavoro sarà uno studio analitico dell’equazione, del comportamento asintotico del potenziale e delle proprietà qualitative dalla soluzione dell’equazione.
Verranno dimostrate relazioni che devono avere l’energia cinetica e potenziale con l’energia che è autovalore dell’equazione e con l’energia calcolata con il funzionale dipendente dalla funzione d’onda.
Si dimostrerà che esiste un valore che limita inferiormente l’energia dello stato fondamentale (e quindi di ogni altro stato) usando la diseguaglianza di Sobolev con la miglior costante e la diseguaglianza di Hölder.
In simmetria sferica riusciamo a semplificare notevolmente il problema riducendoci ad una sistema di due equazioni differenziali del secondo ordine in una variabile.
Con le opportune ipotesi sarà calcolata una approssimazione dello stato fondamentale in simmetria sferica con il metodo variazionale, minimizzando il funzionale dell’energia con il vincolo di massa totale costante. Come funzioni di prova abbiamo usato somme di funzioni di tipo gaussiano, trovando un limite superiore al valore che deve avere il funzionale dell’energia.
Con un algoritmo in Mathematica che utilizza un metodo shooting modificato, verranno trovate le autofunzioni dell’equazione e i relativi autovalori.
Il metodo shooting non può essere implementato direttamente, perché il decadimento esponenziale richiesto dalla soluzione avviene solo per le autofunzioni esatte, mentre per le approssimazioni la funzione d’onda divergerà a più o meno infinito. Verrà quindi proposta una modifica a tale metodo per trovare una soluzione che decada esponenzialmente all’infinito.
Per trovare un’approssimazione che abbia il giusto decadimento si prende il punto medio tra il punto in cui la funzione è uguale a zero prima di divergere a meno infinito e l’ultimo massimo locale precedente (le autofunzioni con n pari sono state moltiplicate per -1 per avere un massimo locale prima della divergenza, anziché un minimo locale) e si sostituisce a partire dal punto medio trovato una funzione esponenziale decrescente che si raccordi alla funzione d’onda con continuità e continuità della derivata. A partire da queste funzioni modificate sono stati calcolato gli autovalori dell’energia.
La modifica proposta al metodo shooting permette di avere risultati abbastanza precisi in tempi ragionevoli (circa un’ora per le prime 200 autofunzioni).
Una volta trovati gli autovalori verrà data una stima di come essi dipendono da n.