• cicli limite
• sistemi dissipativi
• Transizione di fase

I comportamenti della materia in condizioni di non-equilibrio è uno dei settori di studio più attivi della fidisica moderna e riuscire a descirverli oltre a risultare una grande sfida, può essere molto interessante in quanto il loro sempre maggior controllo si sta rivelando una grande fonte di progresso tecnologico in molti settori. I sistemi a molti corpi (many-body system) sono oggetto di studio sia se isolati, non interagenti con l'ambiente esterno, sia se aperti. Questo studio si concentrerà sulla dinamica di una particolare tipologia di sistemi aperti, chiamati driven-dissipative system. Essi sono caratterizzati da un accoppiamento con una forzante esterna che può essere coerente o non ed un bagno, che assumono rispettivamente il ruolo di giuda e dissipazione. La difficoltà nello studio di sistemi aperti sta nel fatto che la loro evoluzione non è unitaria, questo implica che uno stato puro può evolvere in uno stato mescolato e viceversa, cosa assolutamente impossibile in un'evoluzione unitaria; questo meccanismo è alla base del fenomeno chiamato decoerenza. Sarà mostrato che questi sistemi, pur essendo fuori dall'equilibrio termodinamico, possono assumere delle fasi stazionarie molto interessanti. Lo studio dell'evoluzione temporale di tali stati stazionari ed il passaggio dall'uno all'altro, differisce dalla tradizionale teoria delle transizioni di fase quantistiche, essendo soggetti ad una continua interazione con l'ambiente. Il concetto di transizione di
fase, però, può comunque essere generalizzato a sistemi fuori dall'equilibrio, dove risulta
necessario individuare un metodo alternativo con cui descrivere il fenomeno, che non può essere affrontato a partire dalla Energia Libera in quanto, fuori equilibrio, perde di significato. Sarà mostrato come è possibile eseguire lo studio delle fasi stazionarie di sistemi dissipativi a molti corpi tramite la tecnica delle Master Equation nella forma di Lindblad. Essa consente di descrive la dinamica con un'equazione differenziale per la matrice densità del sistema. Non è affatto evidente che si possa utilizzare un'equazione differenziale per descrivere evoluzioni decoerenti, questo sarà possibile solamente trattando l'interazione sistema ambiente sotto l'approssimazione di Born-Markov.
Saranno mostrati i risultati ottenuti in alcuni recenti lavori relativi allo studio delle fasi stazionarie con il metodo sopradescritto, conseguiti principalmente in approsimazione
di campo medio, la quale ha dei limiti di validità in base alla dimensionalità del sistema. Alla luce di quest'ultimo aspetto, sarà mostrato un metodo per approfondire l'analisi oltre il campo medio, concentrandosi su di una particolare fase stazionaria chiamata ciclo limite,la quale non ha controparte nelle fasi all'equilibrio. L'importanza dello spingere l'analisi oltre il campo medio sta nel voler vericare l'effettiva esistenza di tali fasi, per escludere la possibilità che siano un artefatto matematico frutto dell'approssimazioni introdotte. Per fare ciò partiremo da l'unico lavoro presente in questo ambito, eseguito sul modello dissipativo di Heisenberg in campo trasverso con spin 1/2 da Chan, Lee e Gopalakrishnan (PHYSICAL REVIEW A 91, 051601(R) (2015)), nel quale sono introdotte le fluttuazioni in approssimazione Gaussiana, ed analizzato l'andamento della funzione di correlazione e della lunghezza di correlazione nella fase di ciclo limite. Sarà inoltre applicato lo stesso metodo utilizzato nell'articolo sopracitato su di un altro modello, relativo ad un reticolo di atomi di Rydberg, in cui la teoria di campo medio prevede la presenza della fase di ciclo limite. Saranno confrontati i risultati e verrà mostrato che nella fase stazionaria LC, ottenuta in regime Drive-Dissipative, si evidenziano comportamenti simili in entrambi i modelli, caratterizzati da forti correlazioni per fluttuazioni di lunga lunghezza d'onda. Per ottenere tali risultati sarà necessario risolvere delle equazioni differenaili lineari non omogenee a coefficienti non costanti, per fare ciò saranno utilizzati metodi numerici di Runge-Kutta e sfruttata la teoria di Floquet per estrapolare caratteristiche analitiche delle soluzioni. Quest'ultima risulta la tecnica più idonea per ottenere informazioni sulla stabilità delle soluzioni, in quanto ci troveremo a trattare un sistema differenziale con coefficienti periodici.
Infine sarà commentato quanto ottenuto evidenziando le analogie con ciò che avviene in caso di rottura spontanea di simmetria continua in condizioni di equilibrio. Questo perchè l'instaurarsi della fase di ciclo limite rompe la simmetria continua di traslazione temporale. E' noto che quando avviene una rottura di simmetria continua in condizioni di equilibrio, si ottiene come effetto i così detti moti di Goldstone. Sarà mostrato come il comportamento del sistema sembra essere analogo ad un sistema in cui sono presenti tali moti.
In appendice saranno riportati dettagli di calcoli ed eventuali aspetti teorici che, se inseriti nel teso, avrebbero appesantito la lettura senza contribuirne a migliorarne la chiarezza.