• copula
• correlazione
• rischio
• VaR

In matematica, un evento è individuato dai risultati di un determinato esperimento che godono di una certa proprietà o che presentano un certo attributo. La probabilità viene assegnata ad eventi così definiti o a loro combinazioni ottenute tramite le operazioni logiche di unione e negazione. Allo scopo di garantire che tali combinazioni siano esse stesse degli eventi, si richiede che la classe degli eventi F sia chiusa rispetto alle due operazioni logiche. Inoltre, dire che due eventi sono indipendenti tra loro significa dire che il fatto di sapere che uno di essi si è verificato non modifica la valutazione di probabilità sull’altro.

In finanza, invece, due eventi osservati quasi mai sono considerati indipendenti. Si osservano infatti forti dipendenze dalle condizioni iniziali nei mercati, in cui un evento del tutto imprevedibile, come il fallimento di una società o la caduta di un governo, può produrre delle forti oscillazioni nel prezzo dei titoli quotati in Borsa. In tal caso si parlerà di probabilità condizionata. Data la difficoltà nel trattare direttamente con gli eventi, assoceremo a questi ultimi delle quantità numeriche, introducendo il concetto di variabile aleatoria.

A causa dei disastri finanziari degli ultimi anni, è diventato sempre più importante cercare di valutare il rischio insito nelle operazioni finanziarie. Per questo, in questa tesi affronteremo il problema della dipendenza stocastica tra variabili aleatorie e la loro applicazione nella gestione del rischio finanziario. Dal punto di vista matematico, due variabili aleatorie X e Y sono indipendenti se la loro probabilità congiunta è pari al prodotto delle probabilità marginali, ovvero se la distribuzione di probabilità di X resta invariata anche quando condizionata ad una qualunque realizzazione di Y e viceversa.

Uno strumento usato per valutare il rischio è il Valore a Rischio (VaR): una misura di rischio standard impiegata dalle istituzioni finanziarie e dai loro regolatori. Il VaR è la stima di quanto un certo portafoglio può perdere in un dato periodo di tempo e ad un dato livello di confidenza.
Nonostante la sua semplicità concettuale, il suo calcolo è un problema statistico rilevante e nessuna delle metodologie finora sviluppate fornisce soluzioni soddisfacenti. I modelli esistenti per calcolare il VaR differiscono tra loro nelle ipotesi fatte e nei metodi per l’implementazione; essi seguono una struttura generale comune, che può essere schematizzata in tre punti:
1. il portafoglio è “agganciato” al mercato, ovvero risente delle mutazioni giornaliere del mercato; sono a questo proposito utilizzati opportuni modelli che stimano i parametri delle distribuzioni considerate, tenendo conto dei fattori esterni che influenzano l’andamento del mercato;
2. viene determinata la distribuzione dei rendimenti del portafoglio;
3. si procede a calcolare il VaR del portafoglio stesso, visto come il quantile della suddetta distribuzione.

Le principali differenze tra i diversi modelli sono relative al secondo punto, cioè al problema della determinazione della distribuzione del portafoglio. Il calcolo del VaR si riduce quindi alla stima di uno specifico quantile di tale distribuzione.

L’obiettivo principale di questa tesi è quello di presentare uno dei più recenti modelli per la determinazione del VaR: il metodo delle copule. Tale metodo permette di presentare un modo generale per costruire distribuzioni multivariate e per studiare la struttura di dipendenza tra le variabili aleatorie.

Il concetto di copula è stato introdotto da Abe Sklar [1959] per risolvere un problema di probabilità enunciato da Maurice Fréchet, nel teorema che descrive le funzioni che “legano” le distribuzioni di probabilità univariate a quelle multivariate. All’epoca, A. Sklar e B. Schweizer lavoravano sul problema di K. Menger riguardo gli spazi metrici aleatori, i quali sono una generalizzazione dello spazio metrico usuale introdotto da Fréchet nel 1906; i risultati più importanti riguardanti le copule furono ottenuti nel corso di questi studi. Ricordiamo che uno spazio metrico consiste di un insieme S e una metrica d che misura la distanza tra punti in S. In uno spazio metrico aleatorio sostituiamo la distanza d (p; q), dove p; q 2 S , con una funzione di ripartizione F_pq, il cui valore F_pq (x), per ogni x reale, è la probabilità che la distanza tra p e q sia minore di x.

Per diversi anni, le copule sono state utilizzate poco in statistica: sono state trattate nelle ricerche di Paul Deheuvels alla fine degli anni ’70 o ancora nei lavori sulla dipendenza di Kimeldorf e Sampson nel 1975. Solo negli anni ’80 sono diventate, invece, l’oggetto di uno studio sistematico di diversi statistici. Il primo articolo in cui si è parlato di copula in tale ambito è “The joy of copulas” di Genest e MacKey [1986] pubblicato in “The American Statistician”. Sono seguiti numerosi lavori di Christian Genest con differenti coautori. Attualmente, le copule sono uno strumento standard utilizzato per studiare la dipendenza stocastica o anche i modelli di sopravvivenza (cfr. McNeil [2005]).

Questa tesi si articola in quattro capitoli.

Nel Capitolo 1, viene introdotto il concetto di rischio finanziario, presentando un percorso storico per comprendere meglio l’importanza crescente che ha assunto nel corso degli anni; si affronta il problema della regolamentazione, sia in ambito bancario che in quello assicurativo, e si mette in risalto come questa sia cambiata nel corso degli anni. Si osservano i primi metodi per la misurazione del rischio e per la misura dell’aggregazione.
Nel Capitolo 2, dopo un breve sunto di calcolo delle probabilità, viene introdotto il concetto di copula. Seguono i risultati più importanti, tra i quali il Teorema di Sklar e il Teorema sui limiti di Frechét, ed alcuni semplici esempi.
Nel Capitolo 3, per studiare la dipendenza stocastica delle variabili aleatorie, si definiscono i diversi tipi di relazioni di dipendenza, si descrivono quali proprietà ognuna di esse soddisfa e si presentano due famiglie di copule: le copule Ellittiche e le copule Archimedee.
Nel Capitolo 4, si mostrano alcuni algoritmi per simulare le copule e un esempio numerico di calcolo del VaR mediante le stesse.
Infine, nell’ Appendice si sono descritte alcune delle distribuzioni di probabilità note, si dà la definizione di stimatore di massima verosimiglianza e si descrivono quali sono i principali metodi di calcolo del VaR.