• gravità quantistica
• teoria di liouville
• teorie conformi

La teoria di Liouville sulla sfera è legata alla gravità bidimensionale accoppiata a campi scalari di materia e alla teoria di stringa in dimensione non critica.

A livello classico la teoria è invariante per azione del gruppo conforme bidimensionale se il campo non è uno scalare, ma trasforma come il fattore conforme di una metrica.

In una prima parte della tesi rivediamo la quantizzazione canonica della teoria di Liouville sul cilindro, seguendo il procedimento di Curtright e Thorn (Phys.Rev.Lett 48, 1309); la simmetria conforme rimane valida a livello quantistico se si modifica la legge di trasformazione del campo. Gli operatori di vertice sono campi primari conformi con dimensione quantistica diversa da quella classica.

Come in ogni teoria di campo quantistica è fondamentale disporre di uno sviluppo perturbativo. Sulla pseudosfera questo è possibile sviluppando attorno ad un campo di background regolare. Sulla sfera invece non è direttamente possibile a causa di restrizioni topologiche, legate al teorema di Gauss-Bonnet. Lo scopo di questo lavoro di tesi è lo sviluppo di un procedimento che permetta tale approccio perturbativo. Infatti sulla sfera esiste un background classico stabile in presenza di almeno tre sorgenti puntiformi. In analogia con il problema dell'uniformizzazione delle superfici di Riemann, l'equazione classica del campo di Liouville in presenza di tali sorgenti è riconducibile ad un'equazione differenziale fuchsiana che dipende da alcuni parametri completamente determinati dalle sorgenti, e dai parametri accessori di Poincaré. Questi devono soddisfare un sistema lineare che permette di determinarli completamente solo per tre sorgenti. In questo caso ricaviamo esplicitamente la soluzione classica e il limite semiclassico della funzione a tre punti. Calcoliamo le dimensioni conformi semiclassiche degli operatori di vertice e la costante di struttura per la funzione a tre punti. Il risultato è in accordo con quanto previsto dalla congettura DOZZ (Zamolodchikov e Zamolodchikov Nucl.Phys. B477, 577).

Per il calcolo delle correzioni quantistiche alla funzione a tre punti si pone il problema di ottenere la funzione di Green sul background. Questo viene fatto studiando il problema classico connesso di tre sorgenti finite e una infinitesima, perturbando la soluzione trovata precedentemente.

Otteniamo una formula esplicita per la funzione di Green, che si generalizza al caso di un background stabile generico. Questo apre la strada ad uno sviluppo perturbativo della teoria.

Ricaviamo anche dei risultati semiclassici sulle funzioni a N punti, con n sorgenti finite e m infinitesime, nonché la forma del parametro accessorio corrispondente alla sorgente infinitesima.

Riguardo il caso completamente quantistico, le funzioni di correlazione sono definite come usuale da un integrale funzionale che qui viene suddiviso in un contributo di background e in uno di fluttuazione quantistica.
La prima correzione quantistica è data dal determinante funzionale dell'operatore differenziale che compare nella parte quaadratica dell'azione del campo quantistico, ovvero essenzialmente l'operatore di Laplace-Beltrami sul background classico, ovvero su una superficie a curvatura costante negativa in presenza di tre difetti conici corrispondenti alle tre sorgenti. Questo calcolo viene impostato sviluppando le tecniche di heat kernel.