• risposta lineare

Il problema della risposta dei sistemi dinamici alle perturbazioni esterne e' un argomento di
particolare interesse nel campo della termodinamica statistica. Negli ultimi anni l'attenzione si
e' spostata verso la risposta alle perturbazioni dei sistemi dinamici che si discostano dalle
condizioni ordinarie della termodinamica statistica.
In questa tesi si analizzano i sistemi stocastici di rinnovo la cui funzione di distribuzione dei
tempi di attesa non e' data solo da una legge poissoniana, ma anche da una legge a potenza inversa.
Se tali sistemi vengono perturbati, nel limite in cui tale perturbazione sia piccola, e' possibile
fare un'approssimazione lineare. Ne segue che, se si parte da un'equazione di Liouville, si arriva
alla relazione di Green-Kubo che lega il valore medio di un'osservabile, su di un insieme di Gibbs,
alla convoluzione temporale tra la funzione di correlazione all'equilibrio, relativa all'osservabile
stessa, e la perturbazione esterna.
Il medesimo risultato si ottiene, senza fare alcuna approssimazione, partendo dall'equazione maestra
markoffiana. In questo caso la funzione di correlazione all'equilibrio e' una legge di decadimento
esponenziale.
Queste due situazioni corrispondo alla convenzionale legge di Green Kubo.
Per i sistemi di rinnovo con distribuzioni di tempi di attesa con legge a potenza inversa, in cui
il tempo medio di attesa non diverga, e' possibile ricavare la funzione di correlazione di equilbrio.
Nel caso in cui il momento secondo della distribuzione dei tempi di attesa diverge, la funzione di
correlazione e' divergente e l'applicazione della teoria di Green-Kubo, nel caso in cui la
perturbazione e' a scalino, cioe' il campo perturbante viene applicato istantaneamente all'origine del
tempo, produrrebbe una corrente infinita.
Si tratta quindi di una condizione non fisica che richiede l'uso di un nuovo tipo di trattamento.
Per costruire questa nuova teoria partiamo da una descrizione del camminatore casuale nel tempo
continuo ossia si descrive l'esperimento, non in funzione della correlazione all'equilibrio, bensi'
tramite la funzione di distribuzione dei tempi di attesa, che da un punto di vista sperimentale, e'
direttamente osservabile.
Successivamente, per introdurre il bias dovuto alla perturbazione, vengono illustrati due modelli: il
fenomenologico e il dinamico.
Nel modello fenomenologico la perturbazione esterna non agisce sulla distribuzione dei tempi di attesa,
ma influenza la scelta con cui il camminatore casuale si muove verso destra o verso sinistra. Nel modello
dinamico, invece, sono le funzioni di distribuzione dei tempi di attesa, relative ai rispettivi stati in
cui il camminatore si trova, ad essere modificate dalla perturbazione esterna lasciando equiprobabili
le possibilita' di andare
a destra o a sinistra.
In entrambi i modelli si osserva che la risposta alla perturbazione esterna puo' essere descritta da una
relazione simile alla legge di Green-Kubo, dove, pero', al posto della funzione di correlazione, compare
la suscettibilita' che dipende sia dal tempo in cui si inizia a fare l'osservazione sul sistema sia dal
tempo presente; ma solo nel caso poissoniano si ottiene che la suscettibilita' coincide con la funzione
di correlazione che dipende, a sua volta, solamente dalla differenza dei due tempi sopra citati.
Nel caso non Poissoniano, entra in gioco la proprieta' di invecchiamento dei sistemi di rinnovo che
descrive come si evolve la distribuzione dei tempi di attesa, senza che le leggi fisiche che guidano il
sistema cambino nel tempo, ossia il caso in cui non si guarda il sistema dall'istante iniziale in cui
viene preparato, ma lo si osserva ad un tempo successivo.
I risultati relativi alla nuova legge di risposta lineare sono i seguenti.
Nel caso in cui la condizione stazionaria e' possibile, otteniamo per entrambi i modelli una
suscettibilita', che coincide non con la funzione di correlazione, ma con la sua derivata temporale.
Percio' se si considera la perturbazione a scalino ne segue che asintoticamente la media delle osservabili
su di un insieme di Gibbs, nei casi in cui con la legge di Green-Kubo divergevano, ora, secondo la
relazione basata sulla suscettibilita', hanno valori finiti.
Nel caso in cui l'equilibrio non e' mai possibile, la perturbazione a scalino porta di nuovo ad una
corrente finita, ma con due valori distinti.
Tale differenza, sotto l'ipotesi di approssimazione lineare, finisce per annullarsi nel limite in cui
l'indice della potenza inversa della distribuzione dei tempi tende all'infinito.
Nel caso in cui l'equiilibrio non e' ammesso, il sistema, sottoposto ad una perturbazione oscillante,
mostra nel caso dinamico una forma
di risonanza che si affievolisce nel tempo, mentre nel caso fenomenologico predomina una risposta
indipendente dalla frequenza del segnale che, a meno di condizioni opportune, impedisce di vedere ogni
forma di risonanza.