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Nel limite in cui le masse di $L$ quarks vengono poste uguali a zero (i casi fisicamente rilevanti essendo $L=2$ ed $L=3$), la Lagrangiana della \cor{Cromo-Dinamica Quantistica} (QCD) è invariante sotto le trasformazioni del gruppo chirale $U(1)_V\otimes U(1)_A\otimes SU(L)_V\otimes SU(L)_A$ dei campi di questi quarks. Tuttavia, la struttura dei multipletti adronici osservata in natura ci fa concludere che questa simmetria non sia realizzata in maniera esatta (ossia ''\cor{alla Wigner-Weyl}'') ma sia spontaneamente rotta sul vuoto al suo sottogruppo vettoriale $U(1)_V\otimes SU(L)_V$.

E' ben noto che la rottura spontanea della simmetria $SU(L)$ chirale è dovuta alla ''condensazione'' sul vuoto di coppie quark-antiquark che rende non nullo il cosiddetto ''\cor{condensato chirale}'' $\bra \ov{q}q\ket$. Tutto questo avviene a temperatura zero ($T=0$). Tuttavia, ad una certa temperatura finita \tch le fluttuazioni termiche sono tali da ''rompere'' tali coppie restaurando così la simmetria a temperature superiori a \tch. Questa restaurazione della simmetria $SU(L)_V\otimes SU(L)_A$ è associata ad una transizione di fase detta ''\cor{transizione chirale}''. I dati ottenuti mediante simulazioni numeriche della teoria su reticolo indicano per la temperatura di tale transizione un valore \tch$\sim 150$ MeV che sembra coincidere (sebbene non sia ancora affatto chiaro il perchè) con quello della temperatura di deconfinamento $T_d$.

Il comportamento della simmetria $U(1)$ assiale è, invece, di più difficile interpretazione. Sappiamo, infatti, che a livello quantistico essa è rotta da una \cor{anomalia} la quale, tramite il valore non nullo della ''\cor{suscettività topologica}'' (dovuto a effetti non perturbativi), riveste un ruolo fondamentale nel ''\cor{meccanismo di Witten-Veneziano}'' per giustificare la grande massa del mesone $\eta^\prime$. Ora, in maniera analoga a quanto accade per la simmetria $SU(L)$ chirale, ci si aspetta che ad una certa temperatura \tuone anche la simmetria $U(1)$ assiale sia (di fatto) restaurata. Tuttavia, non è ancora ben chiaro quale sia (se c'è!) il legame tra \tch e \tuone. Alcuni risultati ottenuti su reticolo per le cosiddette ''\cor{suscettività chirali}'' (nel caso $L=2$) sembrano indicare che \tuone$>$\tch (più precisamente: \tuone$\simeq 1.3$\tch).

Già nei primi anni '$90$ era stata avanzata da E. Meggiolaro (e anche da E. Shuryak) l'ipotesi che la simmetria $U(1)$ assiale potesse essere rotta indipendentemente dalla $SU(L)$ chirale ed era stato introdotto un nuovo \cor{parametro d'ordine} $U(1)$ assiale. Questo è dato dal valore di aspettazione sul vuoto di un operatore a $2L$ fermioni dello stesso tipo di quello proposto inizialmente da Kobayashi e Maskawa, come vertice efficace in un'estensione del modello di Nambu--Jona-Lasinio, e successivamente introdotto da 't Hooft nello studio della Lagrangiana efficace dei quark nel campo di un istantone.

Gli effetti di questo condensato sulla dinamica dei gradi di libertà mesonici possono essere descritti mediante una Lagrangiana efficace ottenuta da E. Meggiolaro generalizzando opportunamente quella proposta all'inizio degli anni '80 da Witten, Di Vecchia, Veneziano \cor{et al.} Facendo uso di questa Lagrangiana efficace si è cercato di determinare, negli ultimi anni, quali potessero essere le implicazioni a livello fenomenologico dell'esistenza del condensato $U(1)$ assiale. In particolare, sono state studiate le conseguenze sullo spettro di massa della teoria per $L=3$, sia a temperatura zero, sia a temperatura finita; sono stati studiati gli effetti sui decadimenti radiativi dei mesoni pseudoscalari, sia a temperatura zero che finita; infine, sono state studiate le conseguenze sui decadimenti forti degli stessi mesoni a $T=0$. Un primo raffronto tra le predizioni teoriche e i dati sperimentali, relativi a $T=0$, sembra effettivamente supportare l'ipotesi di un valore non nullo di questo condensato. Dati sperimentali relativi a $T\neq 0$ non sono ancora disponibili, sebbene si speri nel prossimo futuro di ricavare informazioni utili dai risultati degli esperimenti condotti con ioni pesanti.

Tuttavia, come si è detto, esistono dei risultati ottenuti su reticolo per la teoria con $L=2$ \cor{flavours} leggeri che sembrano indicare il persistere della simmetria $U(1)$ assiale \cor{sopra} la transizione chirale, fino ad una temperatura critica \tuone$\simeq 1.3$\tch, dove anche la simmetria $U(1)$ assiale viene (di fatto) restaurata. In questa tesi, pertanto, abbiamo voluto analizzare in dettaglio le predizioni del suddetto modello di Lagrangiana chirale efficace nel caso $L=2$ per temperature sopra la transizione chirale ($T>$\tch), per poi confrontare (almeno qualitativamente) tali predizioni con i risultati ottenuti su reticolo.

La tesi è così strutturata.

Nel \textbf{Capitolo 1}, dopo aver richiamato la Lagrangiana fondamentale della QCD e aver riassunto brevemente le ''tappe'' che hanno portato alla sua formulazione, saranno analizzate nel dettaglio le sue proprietà di simmetria, ponendo particolare attenzione al problema della simmetria $U(1)$ assiale e alle soluzioni proposte da 't Hooft e Witten. Sarà quindi introdotto il condensato chirale $\bra \ov{q}q\ket$ come parametro d'ordine per la simmetria $SU(L)$ chirale e sarà analizzata la struttura di fase della QCD in funzione della temperatura. Infine si introdurrà il nuovo condensato $U(1)$ assiale e si richiamerà la sua ''costruzione'' dettagliata nel caso di maggiore interesse per noi, ossia per $L=2$.

Il \textbf{Capitolo 2} si apre con una introduzione di carattere generale al metodo delle Lagrangiane chirali efficaci. Dopo aver illustrato le motivazioni che rendono necessario tale approccio per lo studio della dinamica dei mesoni, introdurremo dapprima la Lagrangiana proposta da Witten, Di Vecchia, Veneziano \cor{et al.}, dopodichè presenteremo la Lagrangiana efficace modificata con l'inclusione del condensato $U(1)$ assiale. Illustreremo brevemente i risultati ottenuti ad oggi dal modello in esame riguardo alle predizioni sullo spettro di massa, sul condensato chirale e sulla suscettività topologica per $L$ generico a $T<$\tch e per $L=3$ a $T>$\tch. Il capitolo si conclude con un breve richiamo dei risultati relativi ai decadimenti radiativi e forti dei mesoni pseudoscalari.

Nel \textbf{Capitolo 3} (che contiene il lavoro originale di questa tesi) saranno presentate in dettaglio le predizioni del modello riguardo alle masse dei mesoni, al condensato chirale e alla suscettività topologica nel caso di $L=2$ \cor{flavours} leggeri e per temperature maggiori di \tch. Faremo vedere, in particolare, che il nostro modello prevede che stati mesonici dello stesso multipletto $SU(2)$ chirale hanno masse degeneri per $T>$\tch, mentre le masse di canali mesonici appartenenti a diversi multipletti $U(1)$ assiali si mantengono differenti al di sopra di \tch, proprio come osservato nelle già citate simulazioni di reticolo. Inoltre determineremo le espressioni del condensato chirale e della suscettività topologica per $T>$\tch e verificheremo che esse soddisfano un'identità di Ward già ricavata e discussa da E. Meggiolaro nei primi lavori al riguardo.

Il \textbf{Capitolo 4} contiene le osservazioni conclusive sui risultati ottenuti, con una analisi delle differenze e delle analogie tra il caso $L=2$ e $L= 3$ e un accenno al problema (ancora aperto) dell'ordine della transizione chirale.