• calcolo delle variazioni
• equazioni differenziali
• geometria differenziale
• superfici minime

L'oggetto di questa tesi è lo studio del problema di Plateau non paramentrico: data una funzione psi:partial Omega subset R(n)rightarrow R{m}, esiste un grafico M{G}_u, u:ClOmega rightarrow R(m), avente come bordo M(G)_(psi) e la cui area M(H)n(M(G)_u) sia minima tra le sottovarietà di R(n+m) aventi lo stesso bordo?
Il problema è legato alla teoria delle equazioni differenziali: se u è soluzione del problema, allora la variazione prima dell'area di M(G)_u è nulla, e ciò equivale ad un'equazione ellittica, nota come emph(equazione delle superfici minime) eqref(msediv), se m=1, ed un sistema ellittico, il emph(sistema delle superfici minime) eqref(mssnonpar), se m>1. Diremo che il grafico M(G)_u è minimo se la sua variazione prima è nulla.
Assumeremo sempre che il dominio Omega e il dato al bordo psi siano di classe C infty e le funzioni u considerate saranno almeno Lipschitziane.

In codimensione 1 (m=1) il problema di Plateau non parametrico è stato largamente studiato fino ai tardi anni 60. Nel 1968 H. Jerkins e J. Serrin mostrano che il problema è risolubile per ogni dato al bordo psi se e solo se partial over Omega ha curvatura media non negativa in ogni punto. Quest'ultima ipotesi serve a fornire una textbf(stima a priori del gradiente) sul bordo. La soluzione in codimensione 1 è unica e minimizza l'area perchè textbf(il funzionale area), che associa ad una funzione u l'area del suo grafico M(A)(u), textbf(è strettamente convesso}. Inoltre una soluzione Lipschitziana dell'equazione delle superfici minime è C infty grazie al celebre textbf(teorema di De Giorgi) sulla
H"olderianità delle soluzioni deboli di equazioni ellittiche.

Gli strumenti usati in codimensione 1 non si applicano in codimensione maggiore: le stime a priori del gradiente non si generalizzano, il funzionale area non è piu convesso e il teorema di regolarità di De Giorgi si applica solo alle equazioni scalari e, quindi, non al sistema delle superfici minime.


Nel 1977 H. Lawson e R. Osserman provano che in codimensione maggiore di 1 il problema dell'esistenza di grafici minimi con dato al bordo assegnato non è in generale risolubile nemmeno se il dominio Omega è una palla n-dimensionale. Anche l'unicità e la stabilità sono false, a causa della mancata convessità dell'area: è provata l'esistenza di un dato al bordo psi per cui il sistema delle superfici minime ha almeno 3 soluzioni di cui una instabile. Lawson e Osserman esibiscono, infine, un grafico Lipschitziano ma non C 1 di area minima, in contrasto con la regolarità in codimensione 1.

Nel 2002 Mu-Tao Wang ha dimostrato alcuni risultati positivi in codimensione arbitraria . Egli mostra che il flusso per curvatura media (il meno flusso gradiente del funzionale area) del grafico iniziale M(G)_psi (adesso psi è pensato esteso a tutto Omega) converge ad un grafico minimo se la norma C 2 di psi è sufficientemente piccola. Il risultato è basato su una stima a priori del gradiente sul bordo tipica dei problemi di evoluzione e fa uso del principio di massimo parabolico.

Mu-Tao Wang descrive anche una regione della Grassmanniana degli n-piani G(n,m) su cui il funzionale area è convesso; tale regione contiene i piani tangenti dei grafici textbf(area-decreasing). Applicando questo risultato ed un teorema di regolarità di Allard per varifold minimi, si ottiene un teorema di tipo Bernstein: il grafico minimo di una funzione area-decreasing definita su tutto R(n) è un piano n-dimensionale. Questo teorema e il teorema di Allard implicano che un grafico minimo area-decreasing è C infty.

L'esposizione degli argomenti mette in luce le differenze a livello geometrico e di equazioni differenziali tra il problema di Plateau in codimensione 1 e maggiore di 1. Il materiale dei capitoli ref(capitolosottov), ref(capitolocodim1) e ref(capitololo) è coperto esaurientemente dalla letteratura degli ultimi decenni. Le dimostrazioni dei capitoli ref(capitolocodarb) e ref(capitoloreg), invece, sono in buona parte in parte inedite: gli articoli originali fanno uso di risultati non presenti in letteratura. Ad esempio, il teorema ref(convergenza) e i teoremi sui coni minimi del capitolo ref(capitoloreg), su cui si basano il risultato di esistenza, il teorema di Bernstein e la regolarità in codimensione maggiore di 1, sono originali.

Le idee presentate nella tesi si mostrano inclini ad ulteriori utilizzi: la convessità dell'area tra le mappe area-decreasing può essere utile nel provare un teorema di unicità e stabilità o in un approccio variazionale. Ho avuto la possibilità di discutere personalemente questi sviluppi con il prof. Mu-Tao Wang presso la Columbia University, economicamente supportato dalla Scuola Normale Superiore e dai fondi di ricerca del prof. Wang; ad entrambi va il mio ringraziamento. In varie occasioni ho discusso i problemi collegati alla tesi, oltre che con il mio relatore, con i prof. Luigi Ambrosio e Giovanni Alberti, che ringrazio per l'interessamento mostrato e i suggerimenti.

Desidero, infine, ringraziare sentitamente il mio relatore, prof. Mariano Giaquinta, e la Scuola Normale Superiore. Il primo per la grande disponibilità e cordialità mostrati durante questo lavoro, iniziato nel settembre 2002, quando gli chiesi un tema per il mio colloquio del terz'anno presso la Scuola Normale. Quest'ultima per avermi fornito un ambiente di studio sereno, stimolante e produttivo che, affiancato all'Università di Pisa, è un terreno ideale per un giovane che voglia accostarsi al mondo della ricerca in matematica.