L’elaborato offre un’analisi di alcuni problemi di costruzione in geometria
iperbolica, con particolare riferimento alla quadratura del cerchio che Bolyai
propose nelle sezioni finali della sua Appendix (1832).
In primo luogo viene offerta una panoramica su problemi classici di costruzione in geometria euclidea. Vengono analizzati succintamente il problema
della duplicazione del cubo, della trisezione dell’angolo e della quadratura
del cerchio. Infine il problema della ciclotomia, che consiste, come è noto,
nel determinare per quali n ∈ N è possibile costruire con riga e compasso un
n-agono regolare. La soluzione a quest’ultimo problema è fornita dal teorema
di Gauss-Wantzel, che sancisce una condizione necessaria e sufficiente per la
costruibilità: un n-agono regolare è costruibile se e solo se n = 2^r· p1 · · · ps
con r, s ≥ 0 e pj primi di Fermat distinti. Come si vedrà, tale risultato non
solo risolve il problema classico della ciclotomia nel contesto euclideo, ma
consente anche di enunciare delle condizioni necessarie e sufficienti affinché
un cerchio iperbolico possa essere quadrato.
Nel capitolo 2 viene fornita una breve trattazione storica sull’origine delle geometrie non euclidee e in particolare della geometria iperbolica. Accanto agli apporti di Bolyai e Lobačevskij, vengono succintamente esposti i
principali contributi di Saccheri, di Lambert e dello stesso Gauss.
La seconda parte del capitolo 2 propone una esposizione delle principali
proprietà della geometria iperbolica piana mediante l’impiego di due modelli:
il semipiano complesso superiore H e il disco di Poincaré D. Alla luce della
definizione di distanza iperbolica, viene fornita una caratterizzazione esplicita
delle geodetiche (rette) nei due modelli. Nel semipiano complesso superiore
esse sono le rette verticali e le semicirconferenze perpendicolari all’asse delle
ascisse; nel il disco di Poincaré esse coincidono con i diametri del disco e
le semicirconferenze perpendicolari al bordo del disco stesso. Quindi, viene
definita la nozione di parallelismo iperbolico. Le rette parallele ad una retta
data e passanti per un punto sono distinte in due tipi: rette ultraparallele, che
non hanno punti in comune all’infinito, e rette asintoticamente parallele, che
invece hanno un punto in comune all’infinito. Infine è introdotta una nozione
di area e sono determinate le aree dei poligoni con numero qualunque di lati
e l’area del cerchio.
Il successivo capitolo 3 offre una trattazione moderna del problema della quadratura nel cerchio nel piano iperbolico ispirata all’articolo [Jagy].
Il risultato fondamentale consiste nel produrre condizioni che garantisco la
possibilità di costruire con riga e compasso quadrati e cerchi di uguale area.
Come l’originaria costruzione di Bolyai, così anche il risultato di Jagy, che
sfrutta in maniera determinante il teorema di Gauss-Wantzel, si configura in realtà come una forma molto debole di quadratura. Del resto, nel suo articollo "Squaring circles in the hyperbolic plane", Jagy dimostra che in generale non è possibile a partire da un dato cerchio, costruire un quadrato di uguale area e, viceversa, dato un quadrato non è possibile costruire un cerchio avente la stessa area.
L’ultimo capitolo è dedicato all’analisi di alcune sezioni dell’Appendix e
in particolare delle sezioni conclusive dove Bolyai affrontò esplicitamente il
problema della quadratura del cerchio. A partire da una nuova definizione
di parallelismo, vedremo come l’intento di Bolyai sia quello si fornire una
serie di risultati di geometria assoluta, ossia validi indipendentemente dal
V postulato. Un esempio notevole di tali risultati è la costruzione della
cosiddetta F-superficie e la dimostrazione della proprietà, indipendente dal
V postulato, che su di essa vale la geometria di Euclide.
La trattazione si conclude con un’analisi del paragrafo §43 dove Bolyai
fornì una costruzione esplicita, mediante riga e compasso, di un cerchio e
di un quadrato di area π; la costruzione di quest’ultimo veniva ottenuta
mediante l’unione di otto triangoli rettangoli di dimensione opportuna.