La tesi inizia dalla dimostrazione di alcune disuguaglianze, tra cui Sobolev logaritmica e Hardy-Littlewood-Sobolev logaritmica, che sono accomunate da una tecnica dimostrativa inusuale: sono tutte ottenute dalla derivazione di opportune famiglie di disuguaglianze. Come applicazione delle disuguaglianze ottenute, riportiamo una stima dall'alto per l'energia di Coulomb in dimensione 2 dimostrata da R.Frank e altri. Grazie all'interpolazione per famiglie analitiche di operatori, dimostriamo una disuguaglianza per funzioni radiali che è conseguenza di una disuguaglianza di Rubin, una generalizzazione di una disuguaglianza di Stein e Weiss. Infine si discute una possibile stima dal basso per l'energia di Coulomb in dimensione 2 e le difficoltà che si presentano nell'ottenerla.
The thesis begins by demonstrating a number of inequalities, including logarithmic Sobolev and logarithmic Hardy-Littlewood-Sobolev, which are united by an unusual proof: they are all obtained from the differentiation of suitable families of inequalities. As an application of these inequalities, we report a upper bound for the Coulomb energy in dimension 2 proved by R.Frank and others. Through interpolation by analytic families of operators, we prove an inequality for radial functions that is a consequence of an inequality of Rubin, a generalization of an inequality of Stein and Weiss. Finally we discuss a possible lower bound for the Coulomb energy in dimension 2 and the difficulties involved in obtaining it.
