• algebra astratta.
• caratterizzazione del prim'ordine
• logica matematica
• teoria dei modelli

Eng

Lindström's theorem, published in 1969, establishes the status and relevance of elementary (or first-order) logic through a characterisation obtained by means of two meta-properties, which can be said to resonate with this basic logic in a distinctly natural guise. Limitations in the expressive strenght and the automated decision procedure notwithstanding, first-order logic stands out among other logical systems as the only complete logic, up to equivalence, capable of formalising the widest range of modern mathematics and for which both the Compactness theorem and the downward Löwenheim-Skolem theorem hold. That is to say, for every different abstract extension we may be inclined to consider in its stead, e.g. second-order logic for a more adequate and flexible fulfillment of mathematical requirements, we are inevitably compelled to expunge at least one of the two aforementioned meta-theorems out of the general characterisation framework. The purpose of this study is hence to track down the logical reasons that led up to this prominent fact as well as the aftermath of such a result. This discussion begins with a model-theoretical approach to the entanglement of a formal language with one another as issued by the interpolation property (Craig's lemma) and continues with the analysis of the definability methods for a non-logical symbol in a first-order theory (Beth's theorem). It then clarifies the interplay between the elementary equivalence relationship and the isomorphism map, which are both tools called upon to algebraically synthesise the many model-related outcomes linked with the fruitful content expressed by Fraïssé's theorem and its semi-theoretical counterpart best known as the Ehrenfeucht games. Finally, in accordance with the incremental pace of the discussion and its argumental progression, this study draws for the first time a restrictive boundary to the general validity of the thus-far-considered properties whenever related to not-first-order logical systems, and eventually completes this circumscribed yet articulated model theory treatise with a clear and detailed demonstration of Lindström's capital theorem.


Ita

Con il teorema di Lindström, datato 1969, si determina lo statuto e la rilevanza della logica elementare o della logica del prim'ordine attraverso la sua caratterizzazione nei termini di due delle metaproprietà di cui essa si può dire goda a un livello naturale. Nonostante i limiti espressivi e di automazione decisionale che ne minano una certa maneggevolezza e funzionalità, la logica del prim'ordine è così assurta a unico sistema logico completo attraverso il quale è possibile formalizzare la quasi totalità dell'aritmetica moderna e per cui valgano entrambi i teoremi di Compattezza e di Löwenheim-Skolem (verso il basso). Questo significa che, per ogni estensione che si voglia valutare al suo posto, per esempio un sistema matematicamente più adeguato come la logica del second'ordine, è necessario escludere almeno uno dei due metateoremi menzionati dal quadro generale di caratterizzazione. Il presente studio propone allora di rintracciare le motivazioni logiche nonché le conseguenze di questo fatto prominente, intraprendendo un percorso che, a partire dalla trattazione di alcune proprietà standard del prim'ordine, come l'interpolazione (lemma di Craig) e la definibilità di un concetto in una teoria (teorema di Beth), muove con taglio spiccatamente modellistico verso la delucidazione e l'applicazione dei meccanismi di equivalenza elementare e di isomorfismo tra modelli, chiamati a sintetizzare per via algebrica alcuni risultati propedeutici alla stesura del teorema di Fraïssé e dei giochi di Ehrenfeucht. Dopo aver definito il concetto teorico di logica astratta e non prima di aver segnato i confini di validità delle proprietà caratterizzanti per sistemi logici differenti, la trattazione giunge per ultimo, in accordo con la progressione incrementale che sostiene e informa il movimento espositivo nel suo complesso, alla dimostrazione estesa e dettagliata del teorema capitale.