• superfici iperboliche
• teoria dell'ostruzione.
• Rappresentazioni dal gruppo fondamentale di una su
• R)
• fibrati in cerchi
• componenti connesse
• classe di Eulero

La tesi si basa su un articolo di William M. Goldman del 1988 intitolato
``Topological components of spaces of representations'' ed ha lo scopo di
studiare le proprietà topologiche globali dello spazio delle
rappresentazioni dal gruppo fondamentale di una superficie S connessa,
compatta ed orientabile con caratteristica di Eulero negativa, nel gruppo
di Lie PSL(2,R) delle isometrie positive del piano iperbolico. Denoteremo
lo spazio di tali rappresentazioni con Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)). Più
precisamente, descriveremo esattamente le componenti connesse di
Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)), su cui si considera la topologia della
convergenza puntuale.

I risultati centrali della tesi sono i seguenti:
TEOREMA
Indicando con eu: Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)) ---> Z la funzione numero di
Eulero e con S una superficie chiusa ed orientabile di genere g>2, si ha
che le componenti connesse di Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)) sono le
controimmagini eu^{-1}(n) al variare di n intero in modulo minore o uguale
alla caratteristica di Eulero della superficie. Dunque sono esattamente
4g-3.

Utilizzando il fatto che le rappresentazioni Fuchsiane (cioè fedeli e
discrete) sono un aperto ed un chiuso di Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)), è
possibile dimostrare anche il seguente corollario:
COROLLARIO
Sia f una rappresentazione in Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)). Allora vale
| eu (f)| = |caratteristica di Eulero di S | se e solo se f è una
rappresentazione Fuchsiana, ovvero f \`e un isomorfismo tra \pi_1(S) ed un
sottogruppo discreto di PSL(2, R).


Questi risultati si dimostrano per induzione sulla caratteristica di
Eulero della superficie: in primo luogo si dimostra un'opportuna versione
del Teorema 1 per le superfici (eventualmente con bordo) aventi
caratteristica di Eulero pari a -1, ovvero il toro meno un disco ed il
pantalone (sfera meno tre dischi), e pari a -2, ovvero la sfera meno
quattro dischi, il toro meno due dischi e la superficie chiusa di genere
2.
E' possibile poi dimostrare il caso generale grazie all'esistenza di una
decomposizione massimale, ovvero alla possibilità di decomporre qualsiasi
superficie con caratteristica di Eulero negativa in blocchi di tipo
pantalone e toro meno un disco, in modo che l'intersezione tra due blocchi
sia vuota oppure sia costituita da esattamente una componente di bordo ed
in modo tale che il grafo duale della decomposizione sia un albero.


Analytic Summary:

My master thesis is based on the article ``Topological components of
spaces of representations'' by William M. Goldman and its aim is the study
of global topological properties of the space of representations from the
fundamental group of a connected, compact and orientable surface S with
negative Euler characteristic, to the Lie group PSL(2,R) of the positive
isometries of the hyperbolic plane. Such a space will be denoted with
Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)).
More precisely, we'll describe the connected components of Rep(\pi_1(S),
PSL(2, R)), endowed with punctual convergence topology.

The main results of my thesis are the following:
THEOREM
Denoting with eu: Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)) ---> Z the Euler number map
and with S a closed orientable surface with genus g>2, the connected
components of Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)) are the pre images eu^{-1}(n) where
n is an integer such that its absolute value isn't greater than the Euler
characteristic of S; so there are exactly 4g-3 connected components.

Using the fact that the set of Fuchsian representations (i.e. faithful and
discrete ones) is an open and closed subset of Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)),
it's possible to prove the following result:
COROLLARY
Let f a representation in Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)). We have that
| eu (f)| = |Euler characteristic of S | if and only if f is a Fuchsian
representation, that is f is an isomorphism between \pi_1(S) and a
discrete subgroup of PSL(2, R).

The proof of the main theorem uses an induction on the Euler
characteristic of the surface: firstly an adapted version of the Theorem
is proved for surfaces with Euler characteristic equal to -1, that are the
torus minus a disc and the pair of pant, and for surfaces with Euler
characteristic equal to -2, that are the sphere minus four discs, the
torus minus two discs and the closed surface of genus 2.

It's possible to prove the general case thank to the existence of a
maximal decomposition, that is the possibility to decompose each surface
with negative Euler characteristic as an union of finite subsurfaces
omeomorphic to a torus minus a disc or to a pair of pant, such that two
pieces are disjoint or meet exactly in a boundary component and such that
the dual graph is a tree.