Rappresentazioni dal gruppo fondamentale di una su
superfici iperboliche
teoria dell'ostruzione.
Data inizio appello
17/04/2015
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Riassunto
La tesi si basa su un articolo di William M. Goldman del 1988 intitolato ``Topological components of spaces of representations'' ed ha lo scopo di studiare le proprietà topologiche globali dello spazio delle rappresentazioni dal gruppo fondamentale di una superficie S connessa, compatta ed orientabile con caratteristica di Eulero negativa, nel gruppo di Lie PSL(2,R) delle isometrie positive del piano iperbolico. Denoteremo lo spazio di tali rappresentazioni con Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)). Più precisamente, descriveremo esattamente le componenti connesse di Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)), su cui si considera la topologia della convergenza puntuale.
I risultati centrali della tesi sono i seguenti: TEOREMA Indicando con eu: Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)) ---> Z la funzione numero di Eulero e con S una superficie chiusa ed orientabile di genere g>2, si ha che le componenti connesse di Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)) sono le controimmagini eu^{-1}(n) al variare di n intero in modulo minore o uguale alla caratteristica di Eulero della superficie. Dunque sono esattamente 4g-3.
Utilizzando il fatto che le rappresentazioni Fuchsiane (cioè fedeli e discrete) sono un aperto ed un chiuso di Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)), è possibile dimostrare anche il seguente corollario: COROLLARIO Sia f una rappresentazione in Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)). Allora vale | eu (f)| = |caratteristica di Eulero di S | se e solo se f è una rappresentazione Fuchsiana, ovvero f \`e un isomorfismo tra \pi_1(S) ed un sottogruppo discreto di PSL(2, R).
Questi risultati si dimostrano per induzione sulla caratteristica di Eulero della superficie: in primo luogo si dimostra un'opportuna versione del Teorema 1 per le superfici (eventualmente con bordo) aventi caratteristica di Eulero pari a -1, ovvero il toro meno un disco ed il pantalone (sfera meno tre dischi), e pari a -2, ovvero la sfera meno quattro dischi, il toro meno due dischi e la superficie chiusa di genere 2. E' possibile poi dimostrare il caso generale grazie all'esistenza di una decomposizione massimale, ovvero alla possibilità di decomporre qualsiasi superficie con caratteristica di Eulero negativa in blocchi di tipo pantalone e toro meno un disco, in modo che l'intersezione tra due blocchi sia vuota oppure sia costituita da esattamente una componente di bordo ed in modo tale che il grafo duale della decomposizione sia un albero.
Analytic Summary:
My master thesis is based on the article ``Topological components of spaces of representations'' by William M. Goldman and its aim is the study of global topological properties of the space of representations from the fundamental group of a connected, compact and orientable surface S with negative Euler characteristic, to the Lie group PSL(2,R) of the positive isometries of the hyperbolic plane. Such a space will be denoted with Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)). More precisely, we'll describe the connected components of Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)), endowed with punctual convergence topology.
The main results of my thesis are the following: THEOREM Denoting with eu: Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)) ---> Z the Euler number map and with S a closed orientable surface with genus g>2, the connected components of Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)) are the pre images eu^{-1}(n) where n is an integer such that its absolute value isn't greater than the Euler characteristic of S; so there are exactly 4g-3 connected components.
Using the fact that the set of Fuchsian representations (i.e. faithful and discrete ones) is an open and closed subset of Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)), it's possible to prove the following result: COROLLARY Let f a representation in Rep(\pi_1(S), PSL(2, R)). We have that | eu (f)| = |Euler characteristic of S | if and only if f is a Fuchsian representation, that is f is an isomorphism between \pi_1(S) and a discrete subgroup of PSL(2, R).
The proof of the main theorem uses an induction on the Euler characteristic of the surface: firstly an adapted version of the Theorem is proved for surfaces with Euler characteristic equal to -1, that are the torus minus a disc and the pair of pant, and for surfaces with Euler characteristic equal to -2, that are the sphere minus four discs, the torus minus two discs and the closed surface of genus 2.
It's possible to prove the general case thank to the existence of a maximal decomposition, that is the possibility to decompose each surface with negative Euler characteristic as an union of finite subsurfaces omeomorphic to a torus minus a disc or to a pair of pant, such that two pieces are disjoint or meet exactly in a boundary component and such that the dual graph is a tree.
