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• ottimizzazione
• inversione sismica non lineare

L’obiettivo primario che ci prefissiamo nel compiere un’operazione di inversione è la minimizzazione di una funzione d’errore, che spesso dal punto di vista pratico costituisce una qualche misura dello scarto fra i dati sperimentali ottenuti ed i dati da noi predetti. Procedure di ottimizzazione che dipendono da approssimazioni del gradiente, linearizzazioni o da inversioni matriciali possono essere soggette ad instabilità numeriche causate dal mal-condizionamento del problema in esame o da fallimenti nella convergenza, a meno che il modello di riferimento non sia adeguatamente vicino alla soluzione vera. Ci potremmo ad esempio trovare in condizioni sfavorevoli quando la funzione obiettivo è particolarmente irregolare, multimodale, non liscia o discontinua.
Nello specifico, il presente lavoro di tesi si pone come obiettivo lo studio dell’applicabilità degli Algoritmi Genetici (AG) all’inversione della forma d’onda sismica, che costituisce uno dei problemi geofisici identificabili come problemi di ottimizzazione multiparametrici non lineari.
Gli Algoritmi Genetici sono metodi di inversione globale che rientrano nella categoria dei metodi Monte Carlo. Essi consistono essenzialmente nelle tre semplici operazioni di selezione, ricombinazione e mutazione, che coinvolgono: la generazione di numeri casuali allo scopo di creare una popolazione di possibili soluzioni, lo scambio di informazioni tra le diverse possibili soluzioni e la parziale modifica casuale delle stesse. Da tali operazioni deriva l’analogia con la genetica.
La scelta degli intervalli entro cui generare la popolazione iniziale e la scelta dei parametri che regolano le tre operazioni appena descritte sono di importanza cruciale per un efficiente funzionamento dell’algoritmo.
Si sono studiati in un primo momento gli effetti che tali parametri hanno sulla ricerca del minimo di funzioni analitiche, ed in un secondo momento si è passati all’inversione sismica vera e propria ottenendo dei risultati interessanti, specie se utilizzati come modello di partenza per un algoritmo di inversione locale.
Le funzioni analitiche scelte per sperimentare l’efficienza dell’AG per differenti combinazioni di parametri di controllo, appartengono a tre differenti insiemi emblematici di funzioni:
- Funzioni puramente convesse (paraboloide)
- Funzioni fortemente multimodali (funzione di Rastrigin, funzione di Schwefel)
- Funzioni piatte (funzione di Branin)
L’interesse verso lo studio di questi tipi di funzioni, risiede nel fatto che si presume che la funzione oggetto “sismica” presenti caratteristiche analoghe ad una certa combinazione delle stesse. Da un punto di vista pratico studiare il comportamento della funzione oggetto “sismica” avvalendosi anche delle analogie con le funzioni analitiche si rivela molto conveniente. Infatti, a livello computazionale, la risoluzione del problema diretto analitico è estremamente meno dispendiosa della risoluzione del corrispettivo sismico. Come vedremo, la funzione oggetto sismica, nei casi studiati, mostra un comportamento intermedio tra quello di una funzione piatta e di una funzione multimodale.
La verifica delle potenzialità e dei limiti della procedura applicata all’inversione della forma d’onda sismica è effettuata utilizzando dati sintetici. Il modello vero di riferimento è una porzione del ben noto modello Marmousi, da cui è generato il dato osservato di riferimento mediante la risoluzione del problema diretto. La funzione oggetto è la norma L2 degli scarti tra dato osservato e dato predetto dalla risoluzione del problema diretto.
Il gran numero di modelli prodotti dall’Algoritmo Genetico ci permette inoltre di operare un ricampionamento per il calcolo della densità di probabilità a posteriori approssimata, seguendo un approccio di tipo Bayesiano. Ciò non richiede ulteriori soluzioni del problema diretto, ma dal nuovo ensemble ricampionato siamo in grado di ottenere un insieme di ulteriori informazioni che il semplice modello migliore non sarebbe in grado di fornirci.