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La Full Waveform Inversion (FWI) rappresenta una tipologia di tomografia sismica ad alta risoluzione caratterizzata dalla soluzione numerica dell'equazione delle onde sismiche e dall'utilizzo di tutti gli eventi presenti nei sismogrammi al fine di ottenere immagini accurate delle proprietà fisiche del sottosuolo. Tale procedura può essere implementata sia nel dominio del tempo che nel dominio delle frequenze.
La FWI può essere definita come “un problema inverso non-lineare di data-fitting”. Prima di effettuare l'inversione dei dati è necessario risolvere il problema diretto (forward modelling). Il forward modelling prevede la stima di un modello quantitativo delle proprietà fisiche della sotto-superficie che permette di calcolare i sismogrammi sintetici (dati predetti) attraverso l'utilizzo dell'equazione di propagazione delle onde. Di solito, l'inversione (inverse modelling) si basa su un procedimento iterativo di minimizzazione di una funzione (oggetto) che contiene la differenza tra i dati osservati e i dati predetti. Nella soluzione del problema inverso (con un metodo di ottimizzazione locale) si procede con l'aggiornamento ripetuto di un modello, nella direzione (e verso opposto) del gradiente della funzione oggetto, al fine di ottenere un modello ottimale in grado di spiegare bene i dati osservati.
La funzione oggetto della FWI contiene più minimi “locali”, ciò che si traduce nella non-unicità della soluzione (più modelli sono in grado di spiegare i dati osservati). Inoltre, la FWI è un problema non-lineare in quanto la relazione funzionale che collega i dati predetti ai parametri del modello (incognite) dipende a sua volta dalle incognite. Per migliorare la non-unicità e la non-linearità dei problemi inversi non-lineari sono state sviluppate alcune strategie, tra cui metodi di condizionamento del gradiente, regolarizzazioni e i cosiddetti approcci multi-scale che prevedono l'inizio dell'inversione a partire da basse frequenze e l'incorporazione progressiva delle alte frequenze al procedere delle iterazioni.
Ai dati ad alta frequenza di solito corrisponde una funzione oggetto che contiene più minimi locali. La mancanza delle basse frequenze potrebbe quindi guidare l'inversione verso uno di questi minimi a causa del fenomeno di cycle-skipping. Di conseguenza, il successo della FWI è condizionato dalla presenza nei dati di basse frequenze, grandi offsets e arrivi rifratti, in modo da poter ricostruire le strutture a grande lunghezza d'onda. Inoltre, l'attendibilità dei risultati della FWI è condizionata da un forward modelling efficiente, che è particolarmente dispendioso dal punto di vista computazionale.
Negli ultimi due decenni la FWI è stata resa possibile dallo sviluppo di tecniche di calcolo parallelo su grandi cluster di computer usando MPI e dallo sviluppo delle potenzialità di ogni singola CPU. Tuttavia, in presenza di una griglia di calcolo molto fitta, i test richiedono grandi risorse di calcolo. Per ridurre i tempi di calcolo spesso si ricorre a semplificazioni dell'equazione delle onde e all'utilizzo di un approccio locale nell'inversione.
Per quanto riguarda l'equazione delle onde è quasi impossibile trovare soluzioni analitiche per descrivere la propagazione delle onde sismiche nei mezzi geologici reali, altamente eterogenei. Per tale motivo si ricorre a soluzioni numeriche che si basano sulla discretizzazione nello spazio e nel tempo delle derivate parziali. In più, ai fini di semplificare la modellizzazione, spesso viene adoperata l'approssimazione acustica dei mezzi reali elastici, che implica la sostituzione di un mezzo fisico solido ed eterogeneo con un mezzo fluido ed isotropo. L'inversione in approssimazione acustica introduce errori nella soluzione a causa della rappresentazione incorretta della variazione dell'ampiezza con l'offset (AVO) e della rappresentazione incorretta della direttività della sorgente e dei ricevitori.
L'approssimazione elastica implica l'introduzione di parametri aggiuntivi (le velocità delle onde S) che contribuiscono all'aumento della non-unicità e della non-linearità del problema. Questo succede da un lato perché aumentano i gradi di libertà nello spazio del modello e dall'altro a causa della “sensibilità” diversa della FWI a ognuno di questi parametri. Inoltre, la modellizzazione elastica è di circa 2-3 ordini di grandezza computazionalmente più costosa, da un lato a causa dell'aumento dei parametri del modello e dall'altro a causa delle basse velocità delle onde S che richiedono l'utilizzo di una griglia di calcolo più fitta per evitare la dispersione numerica.
I cosiddetti metodi di ottimizzazione locale garantiscono la convergenza verso il minimo globale della funzione oggetto solamente in presenza di un modello iniziale molto vicino al modello vero, in altre parole quando si parte da un modello in cui almeno le grandi lunghezze d'onda del campo di velocità delle onde P ed S sono corrette.
La ricostruzione di un modello accurato di velocità delle onde P in aree geologiche complesse, utilizzabile per esempio per effettuare la migrazione o per la ricostruzione delle geometrie dei reservoir petroliferi, rappresenta una sfida ben nota. Altrettanto è ben nota la sfida della ricostruzione in tali aree di un modello di velocità elastico, il cui rapporto Vp/Vs sia in grado di indicare, per esempio, la presenza di idrocarburi. Durante il lavoro di Tesi sono stati sviluppati alcuni esperimenti numerici di FWI acustica ed elastica per il modello geologico (elastico) Marmousi-2, che a differenza del modello Marmousi-1 (acustico) contiene un fondo-mare “soft” e un orizzonte di acqua profondo di circa 500 m. Per effettuare i test di FWI è stato utilizzato un codice gradient based messo a disposizione da ENI sul cluster Galileo al CINECA di Bologna.
Un primo obiettivo del lavoro è stato quello di testare la capacità dell'inversione acustica di ricostruire un modello corretto di velocità delle onde P. A tal fine sono stati effettuati esperimenti di inversioni acustiche ed elastiche su dati sintetici osservati elastici e sono stati confrontati i risultati sia dal punto di vista della qualità delle immagini tomografiche che dal punto di vista quantitativo, tramite una stima del model misfit. Un secondo obiettivo è stato quello di testare l'importanza dell'accuratezza del modello iniziale per la ricostruzione del modello vero. A tal fine sono stati utilizzati due modelli iniziali diversi, di cui uno elastico, ottenuto attraverso l'applicazione di una funzione di smooth al modello Marmousi-2 vero e uno acustico, ottenuto con gli Algoritmi Genetici (GA). Il terzo e il principale obiettivo della Tesi è stato quello di testare la capacità della FWI elastica di ricostruire il rapporto Vp/Vs vero in funzione del rapporto Vp/Vs del modello iniziale. Per raggiungere tale obiettivo sono stati effettuati esperimenti partendo da un rapporto Vp/Vs diverso per ognuno dei due modelli iniziali (smooth e GA); in particolare, è stato testato un modello iniziale con un rapporto Vp/Vs costante, variabile in una dimensione (ottenuto dalle medie orizzontali dei rapporti Vp/Vs del modello vero) e, rispettivamente, variabile in due dimensioni (ottenuto come funzione non lineare della Vp). Nella Tesi sono stati presentati i risultati grafici dei test numerici effettuati: i modelli predetti acustici ed elastici, il model misfit dei vari modelli, i dati sintetici acustici ed elastici, il rapporto Vp/Vs e la variazione comparativa di tale rapporto per tutti i modelli. Inoltre sono stati analizzati, in termini di model misfit, i risultati delle varie inversioni acustiche ed elastiche per ognuno dei modelli ed è stato presentato il modello migliore.
Per superare la sfera puramente “teorica” degli esperimenti è stato scelto il modello con il valore di misfit minore ed è stato coinvolto in una serie di nuovi test in cui i dati “osservati” sono stati contaminati dalla presenza di rumore random. In aggiunta è stata testata l'influenza della presenza di riflessioni multiple nei dati sintetici osservati (simulate sostituendo le celle assorbenti al top del modello vero, utilizzato per ricavare i dati “osservati”, con una superficie libera riflettente).
Sintetizzando, i risultati degli esperimenti svolti hanno dimostrato l'importanza del modello iniziale (in termini di accuratezza del modello di Vp e dell'utilizzo di un modello di Vs e quindi di un rapporto Vp/Vs più realistico possibile) nella corretta ricostruzione (con la gradient based FWI) delle strutture di velocità a media e a piccola lunghezza d'onda. Inoltre, si è osservato che FWI elastica fornisce risultati caratterizzati da un valore di model misfit minore rispetto alla FWI acustica. In fine, si è notato che l'introduzione di rumore incoerente ad alta frequenza e di riflessioni multiple nei dati sintetici osservati non peggiora il risultato della FWI elastica o acustica.