• coarsening
• out of equilibrium dynamics
• Ising model
• long range systems

Negli ultimi anni una particolare classe di sistemi fisici, noti come sistemi a lungo raggio, ha attirato una crescente attenzione da parte della comunità scientifica, principalmente a causa delle peculiari caratteristiche dinamiche e termodinamiche. Un sistema a lungo raggio è caratterizzato da una Hamiltoniana con potenziale di interazione a due corpi $V(r)\propto 1/r^{\alpha}$, dove $r$ è la distanza tra due particelle e $\alpha<d$, la dimensionalità spaziale. Questo tipo di interazione si ritrova in astrofisica, fisica dei plasmi, idrodinamica, fisica atomica e nucleare ed in altri settori.

La proprietà peculiare di questi sistemi è la mancanza di additività. Un sistema è additivo se, una volta diviso in due parti interagenti A e B, data una quantità termodinamica estensiva $f$ (per esempio l'energia), allora risulta $f(A+B)=f(A)+f(B)$. In altre parole la misura di $f$ sul sistema complessivo $A+B$ è uguale alla somma delle misure operata sui suoi sottoinsiemi $A$ e $B$. La mancanza di additività ha conseguenze molto profonde sui fondamenti della meccanica statistica e può condurre a fenomeni quali l'inequivalenza tra ensemble, lo sviluppo di calori specifici e suscettibilià negative e la non convessità dei potenziali termodinamici. Inoltre, possono anche essere esibite peculiarità dinamiche quali l'esistenza di stati stazionari di non equilibrio che possono essere associati a rottura di ergodicità.

In questa tesi cerchiamo di dare un contributo alla comprensione di questi sistemi studiando la cinetica della catena di Ising con interazione a lungo raggio, ovvero con Hamiltoniana $\mathcal{H}=-J_{\alpha}\sum_{i\neq j=1}^{N}\frac{s_is_j}{|i-j|^{\alpha}}$ per $\alpha<1$.

È ben noto che all'equilibrio termodinamico questo modello esibisce alcune delle su menzionate proprietà, ad esempio l'inequivalenza tra ensemble. Il nostro studio si concentra sulle proprietà dinamiche che non sono ancora state studiate in letteratura. In particolare, abbiamo considerato la dinamica fuori equilibrio a seguito di un raffreddamento istantaneo (quench) da una temperatura iniziale $T_i=\infty$ ad una finale $T_f\sim 0$.

Il comportamento del sistema è noto in due regimi: $\alpha=0$ (campo medio, MF) e $\alpha> 1$ (lungo raggio debole). Nel primo caso il sistema raggiunge uno stato di equilibrio magnetizzato in un tempo $t_{eq}$ molto breve (indipendente dalla lunghezza della catena $N$) allineando contemporaneamente tutti gli spin. Nel secondo caso si ha formazione e crescita di domini (coarsening) senza sviluppo di magnetizzazione. $t_{eq}$ in questo caso diverge con $N$.

Nel caso in analisi, con $\alpha<1$, si osserva che, dipendentemente dalla condizione iniziale e dalla storia termica, entrambi i tipi di dinamica appena descritti vengono esibiti. Questa osservazione, assieme alla caratterizzazione quantitativa dei diversi comportamenti del sistema rappresenta il principale risultato di questo lavoro di tesi. In particolare il mio elaborato contiene uno studio analitico delle proprietà statistiche dello stato iniziale e della sua evoluzione a tempi brevi al variare di $\alpha$. Da questa analisi è possibile trarre alcune conseguenze sulle proprietà della dinamica successiva il cui studio, in mancanza di tecniche analitiche, è stato affrontato tramite simulazioni numeriche su larga scala. Queste ultime hanno evidenziato l'esistenza di leggi di scala dinamiche regolate da esponenti caratteristici, analogamente a quanto è noto in sistemi più tradizionali.

Questo studio rappresenta un primo passo nella comprensione di una problematica più generale che comprende, ad esempio, lo studio del medesimo modello in differenti ensemble statistici ed in dimensioni maggiori di 1.