• jacobiana di una curva algebrica
• rivestimenti ramificati
• campo di definizione
• dessin d'enfant
• superficie di Belyi
• campo dei moduli

La classificazione birazionale delle curve algebriche di genere $g$ ci permette di ottenere tutte le classi di equivalenza modulo applicazioni birazionali di esse tramite $3g-3$ parametri continui quando $g>1$, mentre per $g=1$ sono date da un parametro continuo e per $g=0$ c'è un'unica classe di equivalenza; tra queste le curve definibili su $\overline{\mathbb{Q}}$ sono evidentemente un numero molto esiguo. Il Teorema di Belyi è costituito dalla sorprendente proprietà di queste ultime curve secondo la quale esiste un rivestimento per ognuna di esse del $\mathbb{P}^1$ (ossia una funzione razionale non costante sulla curva) ramificato su $0$, $1$ e $\infty$. Nel 1980 Belyi (On Golois Extensions of a Maximal Cyclotomic Field,Math.USSR-Izv.14 N.2,pag.247-256,1980) lo dimostra fornendo un elegante algoritmo per trovare il rivestimento ramificato; a proposito di questo risultato lo stesso Grothendieck nel suo "Esquisse d'un Programme" (eds L.Schneps and P.Lochak,London Mathematical Society Lecture Note Series 242,Cambridge University Press,1997) scrive:

" ... jamais sans doute un résultat profond et déroutant ne fut démontré en si peu de lignes!"

Alexandre Grothendieck

Il viceversa era considerato, anche prima di Belyi, relativamente semplice dagli specialisti della geometria algebrica, la maggior parte di essi invocava un risultato, molto generale, sul campo di definizione di una varietà algebrica dovuto a A.Weil (The Field of Definition of a Variety,Amer.J.of Math.,Vol.78,N.3(Jul.1956),pp.509-524); in realtà negli ultimi anni sono stati scritti molti articoli volti a chiarire questa parte che risultava oscura ai più. Abbiamo per questo fornito una dimostrazione che esula dal lavoro di Weil, fondandosi invece su un criterio pubblicato da G.Gonzalez-Diez (Variations on Belyi's Theorem},Quart.J.Math.57,pag.339-354,2006). La cosa che maggiormente interessava Grothendieck, in questo ambito, era la possibilità di associare ad una curva, proprio grazie alla proprietà sopra esposta, un cosidetto Dessin d'Enfant, ovvero un grafo immerso in una superficie topologica, dal quale sorprendentemente deriva la struttura complessa e lo stesso rivestimento ramificato del Teorema di Belyi.

Grazie al Teorema di Belyi si ottiene che il gruppo $\Gamma<SL(2,\mathbb{R})$ che descrive una curva algebrica $X$ definita su $\overline{\mathbb{Q}}$ come quoziente del semipiano di Poincaré $\mathbb{H}$ è in stretta relazione con particolari gruppi discreti di $Sl(2,\mathbb{R})$, come i gruppi triangolari $T(l,m,n)$ e i gruppi modulari $PSL(2,\mathbb{Z}), \Gamma(2)$ e $\Gamma_0(2)$.
Abbiamo infine cercato di sviluppare la teoria esposta domandandoci:

1) Se una curva algebrica $X$ (irriducibile, non singolare) è definibile sulla chiusura algebrica di un'estensione di $\mathbb{Q}$ di trascendenza $k$, esiste un rivestimento del $\mathbb{P}^1$ ramificato su $k+3$ punti?

2) Se una curva algebrica $X$ (irriducibile, non singolare) è definibile sulla chiusura algebrica di un'estensione di $\mathbb{Q}$ di trascendenza $\leq 1$, esiste un rivestimento di una curva ellittica $E$ su un divisore definito sullo stesso campo?

La prima domanda è ancora aperta, mentre alla seconda abbiamo risposto, seppure negativamente, costruendo un esempio appropriato, usando un metodo dovuta a O.Bolza (On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves,A.J.of Math.10,N.1,pag.47-70,1887) e un criterio dovuto a W.M.Ruppert (When is an Abelian Surface Isomorphic or Isogeneous to a Product of Elliptic Curves?,Math.Zeitsc.203,pag.293-300,1990).