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La tesi analizza la dimostrazione del teorema di Irriducibilita' di Hilbert, in relazione al suo utilizzo per affrontare il problema inverso di Galois : dato un gruppo finito G costruire un'estensione di Galois di Q , che abbia come gruppo di Galois il gruppo G. Vengono mostrate le proprieta' dei campi hilbertiani e l'esistenza degli insiemi di Hilbert universali.

Viene anche esposto il controesempio di Swan che mostra come , dato il campo delle funzioni razionali in n indeterminate (x_i) a coefficienti razionali, e un gruppo finito G che agisce come un gruppo di permutazione sulle (x_i), il campo invariante sotto l' azione di G non e' necessariamente puramente trascendente su Q; Swan esibisce una costruzione in tal senso, considerando come gruppo G il gruppo ciclico generato dal p-ciclo in S_p, dove p=47.
La costruzione di Swan mostra come il teorema di Hilbert non dia una risposta immediata al problema inverso di Galois, secondo la strategia che era stata seguita da E. Noether.