• teoria degli operatori vicini
• condizione (A) di Campanato
• sistemi ellittici totalmente non lineari
• spazi di Campanato

In questa tesi vogliamo esporre i principali risultati riguardanti l'esistenza e l'unicità della soluzione per il problema di Dirichlet, la regolarità all'interno e al bordo, per sistemi differenziali totalmente non lineari di tipo ellittico. In particolare ci occupiamo di sistemi del secondo ordine in forma non variazionale.

Esistono diverse definizioni di ellitticità per i sistemi differenziali lineari: ad esempio possiamo citare la Condizione di Legendre, quella di Legendre-Hadamard, quella di Cordes e la
Condizione (A) di Campanato. Noi utilizziamo quest'ultima nella sua formulazione per sistemi non lineari.


La Condizione (A) ha il pregio di essere strettamente correlata alla Teoria degli operatori vicini, la quale permette di trovare, in maniera semplice ed elegante, risultati di esistenza e di
unicità della soluzione. Inoltre, questa condizione di ellitticità permette agevolmente di ottenere teoremi di regolarità all'interno negli spazi $L^{p,\lambda}$ di Morrey e negli spazi
$\mathcal{L}^{p,\lambda}$ di Campanato.


Nel primo capitolo esponiamo in modo esauriente tutti i principali risultati della Teoria degli operatori vicini, il cui nucleo centrale è il Teorema fondamentale, il quale stabilisce che
se $A,B:X\rightarrow Y$ sono applicazioni fra spazi di Banach, e $A$ è vicina a $B$ (in un senso che precisiamo), allora, se $B$ è una bigezione, anche $A$ lo è. Come conseguenza della teoria,
viene anche dimostrata una generalizzazione del Teorema di Lax-Milgram ad operatori non lineari surgettivi, ed un teorema che generalizza il Teorema delle funzioni implicite di Hildebrandt-Graves.

Nel secondo capitolo illustriamo vari teoremi di regolarità all'interno per sistemi ellittici di diversa natura, ed un risultato di esistenza ed unicità globale per il problema di Dirichlet relativo a sistemi ellittici in forma quasi base, ossia aventi parte principale del tipo $F(x,D^2u)$. L'idea della dimostrazione del Teorema di esistenza ed unicità globale è di
provare che l'operatore $F(x,D^2u)$ è vicino all'operatore di Laplace, per poi concludere grazie al Teorema fondamentale della teoria degli operatori vicini. Infatti, come è noto dalla
teoria dei sistemi ellittici lineari, l'operatore
di Laplace è una bigezione fra gli spazi $H^2(\Omega,\R^N) \cap H_0^1(\Omega,\R^N)$
e $L^2(\Omega,\R^N)$, dove $\Omega$ è un aperto limitato, convesso ed avente frontiera regolare.

Le dimostrazioni dei teoremi di regolarità delle soluzioni seguono il metodo di Campanato: ricavare la differenziabilità delle soluzioni, ottenere maggiorazioni di tipo Caccioppoli e di tipo Poincaré, e l'utilizzo dei cosiddetti \textit{lemmialgebrici}.

Per quanto riguarda i sistemi in forma completa, ossia con parte principale del tipo $F(x,u,Du,D^2u)$, attraverso il Teorema del
punto fisso di Birkhoff-Kellogg-Schauder, otteniamo un risultato di esistenza locale, e proviamo un teorema di h\"{o}lderianità locale delle soluzioni.

Nel terzo ed ultimo capitolo, forniamo un risultato di regolarità (differenziabilità) fino al bordo per il problema di Dirichlet su una semisfera, relativo a sistemi ellittici omogenei in forma base, ossia del tipo $F(D^2u)=0$. Occorre sottolineare che, mentre per i sistemi non lineari variazionali esistono diversi lavori riguardanti la regolarità al bordo, per quelli in forma non
variazionale resta ancora aperto il problema di sviluppare una teoria della regolarità negli spazi $\mathcal{L}^{p,\lambda}$.