• Amplitude equation
• CGLE
• difetti topologici
• Landau-Ginzburg
• pattern formation
• RGL
• teoria biforcazioni
• Weakly non linear expansion

La natura genera una numerosa quantita' di strutture organizzate, a partire dalle dune nella sabbia per finire alle impronte digitali e alle macchie sul manto sul pelo degli animali. Tutti questi fenomeni, a dispetto della loro diversa origine, hanno un meccanismo basilare in comune che e' l'oggetto di questa tesi. Gli strumenti utilizzati per modellare un tale comportamento sono la teoria dei sistemi dinamici non lineari e la teoria delle biforcazioni; di questi argomenti sara' data una breve descrizione nel capitolo iniziale di questo lavoro. Noi ci occuperemo solo di sistemi poco oltre la soglia dell'instabilita' primaria e per portare a termine questo obbiettivo useremo una teoria perturbativa che prende il nome di "espansione debolmente non lineare". In questo approccio e' cruciale la separazione delle scale che avviene alla soglia della biforcazione: le deformazioni che avvengono su scala "veloce" sono regolate dall'analisi lineare, mentre le variazioni su scala "lenta" evolvono secondo un'equazione di forma "universale" che chiameremo "equazione di ampiezza" . Tale equazione rappresenta indubbiamente un semplice modello che ci consente di studiare una grande quantita' di sistemi, che esibiscono pattern, vicino alla soglia della biforcazione primaria senza dover ricorrere alle equazioni complete del fenomeno che molto spesso, nel caso della formazione di pattern, sono fuori dalla portata numerica dei piu' potenti calcolatori oggi esistenti. Numerosi sistemi che esibiscono pattern nello spazio e nel tempo possono essere rappresentati da tale metodo, tuttavia il loro dettaglio microscopico non influisce sulla forma dell'equazione ma solo sui valori che assumono i suoi coefficienti. Nella fattispecie l'equazione di ampiezza ha la forma di un'equazione assai nota in letteratura, perche' utilizzata in molti altri ambiti della fisica: l'equazione di Landau-Ginzburg. In questo lavoro sono state impiegate due differenti equazioni di ampiezza : l'equazione a coefficienti reali (RGL) che descrive i pattern stazionari e quella a coefficienti complessi (CGL) che descrive pattern tempo dipendenti. In questa tesi faremo principalmente riferimento allo studio delle instabilita' elettroconvettive nei cristalli liquidi nematici (EHC), tuttavia bisogna sottolineare che l'interesse di questo lavoro di tesi non va in particolare al sistema sopra citato ma allo studio e alla modellazione degli aspetti universali che si presentano nell'ambito della formazione di pattern. Sara' esposta una breve fenomenologia della EHC e una descrizione basilare di un esperimento "ideale" volto a riprodurre il fenomeno della formazione di pattern. Le instabilita' elettroconvettive possono essere modellate con il formalismo dell'equazione di ampiezza dando una descrizione basilare di alcuni fenomeni e in buon accordo con le osservazioni sperimentali. In particolare la nostra attenzione si e' rivolta allo studio dei difetti topologici e al loro moto nei pattern spazialmente periodici. Lo studio del moto dei difetti e' stato svolto numericamente a causa della difficolta' nel risolvere analiticamente le equazioni di ampiezza; a questo proposito sono state scritte varie simulazioni unidimensionali e bidimensionali. Le simulazioni numeriche sono state implementate con algoritimi spettrali di tipo "leap frog" e "exponential-timestep" che hanno garantito buone prestazioni anche su un computer di tipo standard. La parte originale di questo lavoro consiste, oltre che nella scrittura delle simulazioni e nell'adattamento di alcuni algoritmi alle situazioni del caso, nello studio del moto dei difetti topologici e della loro interazione nei vari regimi dell'equazioni reali e complesse undimensionali e bidimensionali :sono stati esplorati vari regimi delle equazioni di ampiezza cercandone uno in cui fosse possibile osservare fenomeni di moto non banali dei difetti . E' importante sottolineare che l'intento di questo lavoro di tesi non e' studiare in particolare l'EHC quanto piuttosto analizzare una generica classe di sistemi che esibiscono una formazione di pattern di cui l'elettroconvezione nei cristalli liquidi e' uno degli esempi piu' semplici in natura.