• algoritmi
• convessità
• disequazioni variazionali
• funzione gap
• ottimizzazione
• penalizzazione esatta
• piani di taglio
• problemi bilivello
• problemi di minimo
• proiezione
• Tichonov

Questo lavoro si propone di studiare i problemi variazionali bilivello. Nello specifico, nel primo capitolo introduciamo le traiettorie di Tichonov per lo studio dei problemi di minimo bilivello nel caso in cui le funzioni coinvolte siano fortemente regolari. Sviluppiamo metodi che approssimino le traiettorie di Tichonov. Quello implicito converge in condizioni di scarsa regolarità, ma è di difficile implementazione. I metodi espliciti, invece, permettono un'implementazione diretta. L'ultima parte del capitolo è dedicata al metodo SAM, di cui studiamo la convergenza e diamo stime asintotiche. Nel secondo capitolo introduciamo le disequazioni variazionali e studiamo il collegamento che esiste tra esse e i problemi di minimo. Definiamo quindi le disequazioni variazionali bilivello e studiamo metodi per la loro risoluzione. Inoltre vedremo dei metodi dell'extragradiente per la risoluzione di disequazioni variazionali con ipotesi di pseudo-monotonia. Il terzo capitolo invece è dedicato allo studio di problemi variazionali bilivello misti, ovvero la risoluzione di problemi di minimo che hanno come insieme ammissibile le soluzioni di disequazioni variazionali. Iniziamo illustrando un metodo con ipotesi abbastanza generali che richiede la compattezza della regione ammissibile. Sviluppiamo poi la teoria dei piani di taglio per la risoluzione dei problemi di minimo, e la applichiamo alle disequazioni variazionali. L'ultima sezione costituisce la parte più originale della tesi, dove cerchiamo di combinare le tecniche dei piani di taglio con il metodo della penalizzazione esatta. Per farlo, introduciamo le disequazioni variazionali perturbate e le funzioni di gap associate, e ne studiamo la loro regolarità. Riportiamo e generalizziamo risultati sulla penalizzazione esatta. Dimostriamo un teorema sulla convergenza del parametro di penalizzazione che ci permette di costruire un algoritmo per la risoluzione del problema variazionale bilivello che utilizzi i piani di taglio.