• class field theory
• elliptic curves
• Lubin-Tate

Dalla riformulazione di Tate e di Artin tra gli anni ’50 e ’60, la Class Field
theory (CFT) ha continuato a evolversi e ad avere un impatto significativo nella
teoria dei numeri e nella geometria algebrica. Le connessioni con altre aree
della matematica hanno contribuito a rendere la CFT un campo di studio ricco
e interconnesso.
La teoria di Lubin-Tate per i campi locali e il teorema di Kronecker-Weber
suggeriscono l’esistenza di una stretta relazione tra le estensioni abeliane in
una fissata chiusura separabile, di un campo locale o di Q rispettivamente, e
le radici dell’unità, che costituiscono la torsione del sottogruppo moltiplicativo
della chiusura separabile stessa. L’idea di esaminare le estensioni abeliane di un
campo attraverso la torsione di opportuni oggetti matematici non è limitata ai
casi menzionati. Nonostante la teoria varii in maniera incontrollata al variare
del campo base, sembra che questo legame tra torsione ed estensioni abeliane sia
una delle poche idee generali che rimangono comunque valide. Questo elaborato
consiste di un ampio studio della CFT volto a mettere in luce questo legame.
Nello specifico, nel primo capitolo la tesi prevede un’introduzione ai principali
risultati della coomologia di gruppi e di Galois.
Il secondo capitolo è interamente dedicato alla CFT locale: la dimostrazione
degli assiomi della CFT locale and un teorema di esistenza per campi p-adici
via Tate duality. Il secondo capitolo si chiude con la presentazione della teoria
di Lubin-Tate. Questo approccio più costruttivo alla CFT locale offre non solo
diversi vantaggi a livello tecnico, ma anche risultati più generali rispetto all’
approccio assiomatico. In particolare, viene mostrato che le estensioni abeliane
totalmente ramificate di un campo locale sono generate dalla torsione dei gruppi
formali di Lubin-Tate.
Il capitolo 3 è volto allo studio della CFT di campi di numeri: dimostrazione
degli assiomi e teorema di Esistenza. L’approccio utilizzato è quello di Chevalley
che, per mezzo del linguaggio degli ideli, ci consente di riutilizzare molto del caso
locale. Il lungo percorso per la dimostrazione degli assiomi della CFT globale
ha come tappe intermedie molti risultati classici tra cui la Reciprocità Globale,
il teorema di Brauer-Hasse-Noether e il teorema di Kronecker-Weber.
Nell’ultimo capitolo, trattiamo la teoria della moltiplicazione complessa su C con
l’obiettivo di costruire la Hilbert class field e la massima estensione abeliana di
estensioni quadratiche immaginarie di Q in termini di j-invarianti e punti di
torsione di opportune curve ellittiche a moltiplicazione complessa.