• nodi legendriani

Le strutture di contatto su variet`a sono rintracciabili anche molto addietro negli anni, ad esempio in lavori nel campo dell’ottica geometrica ad opera di Huygens, Hamilton e Jacobi, o nel campo delle equazioni alle derivate parziali, con Lie. (Per maggiori informazioni storiche cfr. [Gei01].) Oggi, l’interesse di queste strutture e dei nodi (legendriani e trasversi) immersi in esse `e molto legato allo studio della topologia e della dinamica in dimensione bassa. Negli ultimi quindici anni la geometria di contatto ha conosciuto un ulteriore notevole sviluppo, grazie, in particolar modo, a Yasha Eliashberg, H. Hofer, A. Givental, J. B. Etnyre, H. Geiges, E. Giroux, K. Honda, L. Ng, M. Sabloff, ed altri ancora. In questo quadro generale lo studio e la classi- ficazione di nodi legendriani riveste un ruolo sempre piu` fondamentale, in quanto si sono dimostrati utili strumenti per individuare e costruire strut- ture di contatto. Un obiettivo dovrebbe essere quello di avere a disposizione una chiara classificazione dei nodi anche all’interno della teoria di contatto.
Nelle 3-variet`a di contatto si parla di nodi legendriani e di isotopia le- gendriana (per la definizione vedi cap. 1). Chekanov `e tra i primi a dedicare un lavoro, nel 2002 ([Che02a]), allo scopo di trovare degli invarianti per iso- topia legendriana che permettano una classificazione dei nodi legendriani in 3-variet`a di contatto piu` fine di quella ottenuta mediante l’utilizzo degli invarianti (detti classici) definiti nel primo capitolo : tipo topologico, nume- ro di rotazione, numero di Thurston-Bennequin. Costruisce un’omologia di contatto, ed esibisce un esempio in cui gli invarianti classici non riescono ad escludere una eventuale isotopia legendriana, e la sua omologia invece ne `e capace. Il limite `e che tale risultato vale solo in R3, dotato della struttura di contatto standard; la sua forza sta nel fatto che gli strumenti richiesti per la costruzione di tale invariante sono minimi (analisi ed algebra di base). Senza contare il fatto che a partire da questo articolo Etnyre, Ng e Sabloff ([ENS02]) sono riusciti a sollevare l’omologia di Chekanov, che `e un’algebra su Z/2Z graduata su Z/2 rot(L)Z, ad un’algebra su Z 􏱱t, t−1􏱲 graduata su Z eliminando la dipendenza dal numero di rotazione del nodo, ed Ekholm, Etnyre e Sullivan ([EES]) hanno generalizzato il risultato a dimensione piu` alta.
Lo scopo principale di questa tesi `e di esporre il teorema di Chekanov, riportato in [Che02a], in cui si afferma che due nodi legendriani sono legen- drianamente isotopi se e solo se due algebre opportunamente associate ad essi sono equivalenti a meno di stabilizzazione (nozione che viene definita nel cap. 2).