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• metodi
• montecarlo
• ottimizzazione

INTRODUZIONE

in questo capitolo verranno introdotte metodologie elementari, che hanno il fine di supportare un decisore nella scelta tra una gamma di azioni o alternative possibili, ciascuna delle quali produrrà una tra un insieme di conseguenze possibili.
conseguenza, che sarebbe quindi nota se ci fosse una perfetta conoscenza del foturo,infatti in questo caso il decisore sarebbe in grado di determinare a priori gli effetti della porpria scelta.
in generale però il soggetto che attua una scelta non è in grado di stabilire esattamente la conseguenza di questa, dal momento in cui essa è influenzata da una serie di fattori esterni, che sono non sono noti al tempo in cui viene presa la decisione ma sopratutto sono fuori dal controllo del decisore.
generalmente supponiamo che le conseguenze di ciascuna decisone possono essere valutati in termini di guadagno o perdita.
indichiamo con:
A= ( A1,A2....Am) l'elenco delle possibili alternative.
S= (S1,S2.....Sn) l'insieme degli stati di natura.
Gi,j il guadagno/perdita associato alla generica combinaione decisione-stato di natura (Ai,Sj) con i=(1....,m) e j=(1...,n)
per fare un esempio di un problema decisionale in condizioni di incertezza utilizzimo le seguenti tabele di decisione.





l'analisi decisionale può essere vista come un articolata delle seguenti 4 fasi principali:
1) identificazione delle alternative: in questa fase è necessario individuare tutte le ossibili alternative disponibili.
2) identificazione degli stati di natura: in questa fase è necessario determinare quali siano eli evanti futuri che possono influire sui risultati derivanti dalle diverse decisioni.
3) stima dei guadagni: in questa fase ad ogni coppia (Ai,Sj) viene associata una stima del guadagno/perdita ad essa associato/a ovvero Gi,j rappresenta una misura del valore della decisione Ai in corrispondenza del verificarsi dello stato natura Sj.
4) valutazione e comparazione delle alternative: in questa fase utilizzando le informazioni che sono sintetizzate nella tabella di dcisione, viene definito un metodo per valutare e confrontare le diverse alternative.
in quest'ultima analisi svolge un ruolo di fondamentale importanza il principio di dominanza, in base al quale è possibile escludere dalla valutazione le alternative che comportano conseguenze peggiori di una qualsiasi alternativa, qualunque sia lo stato di natura.
in sostanza si dirà che l'alternativa Aq è dominata se esiste un alternativa Ap con p diverso da q taleche Gqj <Gpj, percui un alternativa si dirà possibile se non è dominata da nessun' altra alternativa.
si consideri adesso per fare un esempio il caso FARMA.COM un'azienda distributrice di prodotti farmaceutici che deve calutare l'ampiamento della propria rete di distribuzione, in particolare sono state individuate 4 alternative differenti .



il management ha stimato, per ogni alternativa di ampliamento, i guadagni monetari in corrispondenza di domanda alta, media e bassa.
notiamo subito che l'alternativa A4 è dominata dalla A3,di conseguenza è possibile escluderla immediatamente.

ANALISI DECISIONALE IN CONDIZIONE DI INCERTEZZA

l'analisi decisionale in condizione di incertezza vine usata quando il decisore non dispone di informazioni circa la probabilità degli stati di natura futuri, quindi la valutazione e il confronto con le diverse alternative possibili vengono effettuate prescindendo da concetti di natura probabilistica.
vi sono vari criteri da utilizzare per questo :

1) criterio del max-min: consiste nello scegliere l'azione che massimizza il guadagno piu savorevole rispetto agli stati di natura che può essere definito come segue:
Lsi= min(j=1,...,n) Gij;
dove Lsi è definito livello di sicurezza della decisione Ai, poiche questa garantisce al decisore un guadagno di almeno lsi; quindi secondo quanto suggerito da questo criterio, conviene scegliere l'alternativa Ak che garantisce il piu elevato livello di sicurezza possibile.
questo criterio rappresenta un atteggiamento pessimistico del decisore, il quale suppone che qualunque decisione prenda, si verificherà sempre lo stato di natura
applicando questo criterio al caso precedente della FARMA.COM possiamo notare che la alternativa migliore si la A3 poiche nel peggiore degli stati natura fornisce il guadagno massimo ovvero 240000.

2) criterio del max-max

questo criterio consiste nello scegliere l'azione che massimizza il guadagno piu favorevolo rispetto a tutti gli stati natura, quindi prendendo la generica azione Ai con i=1,...,m posso rappresaentare
Loi max (j=1,....,n) Gji

dove Loi è definito come il livello di ottimismo di Ai e rappresenta il miglior guadagno che il decisore può ottenere con l'alternativa ai.
in questo caso siamo presenti ad un atteggiamento ottimistico del decisore, il uale presuppone che qualunque sia la decisione prescelta, si presenterà sempre quello stato di natura a cui corrisponde il guadagno massimo.
rifacendosi sempr al caso precedente, secondo questo criterio il decisore sceglierà la alternativa A1 poice garantisce un guadagno piu elevato al verificarsi dello stato natura piu favorevole.
3) criterio di hurwicz
qesto criterio prevede di scegliere l'alternaticva che massimizza una combinazione lineare convessa del livello di sicurezza e quello di ottimismo, indicando con P il cosidetto livello di pessimismo (compreso tra 0 e 1) il criterio di hurwicz suggerisce di scegliere l'alternativa Ak che soddisfa la seguente condizione:

P Lsk+ (1-p)Lok = max (i=1,...,m) (P lsi +(1-p)Loi).
questo criterio comprende i 2 precedentemente descritti, infatti se P fosse uguale a uno, verrebbe fuori il criterio di max-min, mentre se fosse uguale a 0 si otterrebbe il criterio del max-max; la difficoltà di questo criterio sta appunto nell'attribuire un valore al parametro P.
4) criterio del mancato guadagno
per applicare questo criterio, è necessario valutare in corrispondenza di ogni combinazione alternativa-statonatura, (Ai,Sj) il mancato guadagno o perdita di opportunità Rij definito come segue:
Rij= max (l=1,..,m) Glj-Gij
il mancato guadagno Rij corrispondente all'alternativa Ai, nel caso in cui si realizzi lo stato di natura Sj rappresenta la differenza di guadagno che si sarebbe ottenuto se si fosse presa la decisione migliore in corrispondenza dello stato natura Sj.
quindi il criterio del mancato guadagno suggerisce di scegliere l'alternativa Ak in corrispondenza della quale il mancato guadagno massimo assume il valore minimo, questo criterio assume un atteggiamento estremamente pessimistico, in particolare valuta quanto si sarebbe potuto ottenere di più facendo una scelta più oculata.
facendo un esempio sempre col caso FARMA.COM otteniamo le seguenti tabelle






analisi decisionale in condizione di rischio
in questo tipo di analisi, attribuiamo delle probabilità agli stati natura futuri, queste, possono essere determinate sulla base di valutazioni soggettive, oppure su esperienze analoghe condotte in passato.
in alcuni casi è anche possibile condurre analisi sperimentali, ottenendo così le cosidette probabilità a posteriori.
poiche gli stati natura sono esaustivi e mutuamente esclusivi, le probabilità di occorrenza degli stati natura futuri soddisfano le seguenti relazioni:
sommatoria(j=1,..,n) P(Sj)=1
j,k=1,..,n j diverso da k

criterio della verosomiglinza: prevede di identificare lo stato piu probabile, ovvero al quale è assegnata la probabilità piu alta, una volta fatto ciò si sceglie l'alternativa che, in corrispondenza di tale stato, consente di ottenere il massimo guadagno.
quindi rifacendosi sempre al caso della FARMA.COM possiamo subito notare che è l'alternativa A1 quella suggerit da questo criterio.
criterio del valore atteso: è quello in genere piu utilizzato, esso prevede di calcolare per ogni alternativa possibile il guadagno atteso, ovvero ponderando i guadagni possibili per ogni scenario secondo la porbabilità ad essi attribuita.
l'alternativa ottimale sarà quindi quella che avrà maggiore valore atteso.
criterio del valore atteso del mancato guadagno: questo criterio prevede, in primo luogo la costruzione della matrice dei mancati guadagni, dopodichè viene calcolato il valore atteso dei mancati guadagni VAMG sempr facendo la sommatoria ponderata secondo le probabilità attribuite agli stati natura.
una volta ottenuti tutti i VAMG si sceglie la alternativa Ak in corrispondenza del minore tra questi.
tabella 3.10
se ci rifacciamo al caso FARMA.COM possiamo notare che, esattemente come nel criterio del valore atteso, la alternativa migliore è la A1, quesro non è un risultato casuale, ma ha validità generale, in quanto è possibile dimostarare che i due criteri sono equivalenti.
prendiamo infatti le 2 equazioni:

1) VA(Ak) = max(i=1,..m)VA(Ai)= max(i=1,..,m){sommatoria(j=1,..,n)P(Sj)Gij)}
2) Gij=max(i=1,..,m){Glj}-rij
sostituendo la seconda equazione nella prim otteniamo l'uguaglianza dei due criteri.

valore atteso della peretta informazione
sommatoria(j=1,..,n) [P(sj)(max(l=1,..,m)(Gij))]
questo rappresenta la differenza tra il valore atteso ottimo e il valore atteso del mancaro guadagno ottimo.
tale termine è indipendente dalle decisioni e viene denominato valore atteso con perfetta informazione.
può essere interpretato economicamente come il valore atteso del guadagno che si otterrebbe se il decisore, operando in condizioni di perfetta informazione, scegliesse sempre l'alternativa più conveniente per ogni stato di natura che si verrebbe a verificare.
la differenza tra il massimo valore con perfetta informazione (vacpi) ed il valore atteso è definita come valore atteso della perfetta informazione (vapi).
questo vapi coincide con ilminimo valore atteso del mancato guadagno, e può essere interpretato economicamente come il massimo prezzo che il decisore è disposto a pagare per ottenere le informazioni necessarie per identificare senza alcun dubbio quali siano gli eventi futuri che si verificheranno.
decisione con sperimentazione
le stime di probabilità che comporta la determinazione delle cosidette probabilità a posteriori.
in questo caso, sovente si fa ricorso ad alcuni importanti risultati della teoria della probabilità, riportati qui di seguito.
torema della probabilità totale:
data una collezione sj j=1,..,m di eventi esaustivi e mutuamente esaustivi ad un generico evento A vale la seguente relazione:
P(a)= sommatoria (J=1,..,n) P(sj)P(A/sj)
teorema di Bayes:
data una collezione sj j=1,..,m di eventi esaustivi e naturalmente esclusivi e un generico evento A vale la relazione:
P(sj/A)= P(sj)P(A/sj)/sommatoria(l=1,..,n)P8sl)P(A/sl)
si consideri adesso di estendere l'esampio di farma.com, considerando due fasi decisionali:
1) decidere se commissionare indagini di mercato
2) decidere quale strategia di ampliamento adottare.
si ipotizza che la ricerca di mercato possa avere due esiti possibili: mercato favorevole e mercato sfavorevole.
è verosimile che gli esiti delle indagini possano essere condizionati dagli stati di natura, ad esempio è molto probabile che ad un elevato livello di domanda corrisponda un esito favorevole dell'indagine di mercato.
riportiamo nella seguente tabella le probabilità relative all'esito dell'indagine di mercato El,l=1,2 condizionate dal verificarsi dei livelli di domanda sj j=1,2,3 ottenute sulla base di esperienze condotte dall'azienda in passato.
probabilità degli esiti dati dagli stati di natura nel'esempio farma.com
El sj P(El/sj)
mf bassa 0,3
mf media 0,6
mf alta 0,85
ms bassa 0,7
ms media 0,4
ms alta 0,15

dal momento che si è ipotizzato che per i livelli di domanda alta, media e bassa le probabilità di occorrenza (probabilità a priori) siano rispettivamente 0,5 0,3 e 0,2 applicando il teorema della probabilità totale agli incondizionati dell'indagine di mercato si ottengono i seguenti valori di probabilità per l'esito di mercato favorevole(MF) e per l'esito di mercato sfavorevole (MS).
P(MF)= P(alta)P(MF/alta)+P(media)P(MF/media)+P(bassa)P(MF/bassa)

P(MF)= 0,5*0,85+ 0,3*0,6+ 0,2*0.3= 0,665

P(MS)= P(alta)P(MS/alta)+P(media)P(MS/media)+P(bassa)P(MS/bassa)

P(MS)= 0,5*0,15+0,3*0,4+0,2*0,7=0,335

per gli eventi che si trovano a valle dell'esito dell'indagine di mercato, le probabilità associate saranno condizionate dall'esito dei test.
Per poter calcolare le probabilità condizionate P(El/sj) è possibile utilizzare il risultato fornito dal teorema di Bayes.
La probabilità che si verifichi un livello di domanda alto a valle di un esito sfavorevole dell'indagine di mercato sarà per tanto pari a:

P(alta/MF)= P(alta)P(MF/alta)/P(MF)= 0,5*0,85/0,665=0,64

è quindi interessante notare che la probabilità a posteriori di avere un livello di domanda alto in corrispondenza di un esito favorevole dell'indagine di mercato (MF) aumenta rispetto alla corrispondente probabilità a priori.
Allo stesso modo è possibile calcolare le rimanenti probabilità condizionate

P(media/MF)= 0,3*0,6/0,665= 0,27

P(bassa/MF)= 0,2*0,3/0,665= 0,09

P(alta/MS)= 0,5*0,15/0,335=0,22

esempio farma.com applicazione della regola di decisione di Beyes nel caso di mercato favorevole


Alternativa
Domanda alta
Domanda media
Domanda bassa
VA(ai)
A1
480000
280000
160000
397200
A2
432000
280000
200000
370080
A3
392000
300000
240000
353480
P(sj/MF)
0,64
0,27
0,09





Esempio farma.com con l'applicazione della regola di decisione di Bayes nel caso di mercato sfavorevole



Alternativa
Domanda alta
Domanda media
Domanda bassa
VA(A1)
A1
480000
280000
160000
273600
A2
432000
280000
200000
279840
A3
392000
300000
240000
295040
P(sj/MS)
0,22
0,36
0,42



Esempio farma.com: alternative ottimali ottenute sulla base della regola di decisione di Bayes.

Risultato indagine di mercato
Alternativa ottimale
VA
MF
A1
397200
MS
A3
295040




La procedura per determinare a posteriori le probabilità può essere schematizzata mediante un diagramma ad albero delle probabilità.
I dati all'ingresso del problema sono rappresentati dalle probabilità a priori P(sj) j=1,..,m (primo livello dell'albero) e dalle probablità condizionate P(El/sj) con j=1,2,3 l=1,2 (secondo livello dell'albero).
Moltiplicando le probabilità a priori per quelle condizionate, si ottengono le probablità composte (terzo livello), che vengono utilizzate come numertore per il calcolo delle probabilità a posteriori.
Sommando le probablità composte relative allo stesso risultato si ottiene invece il denominatore per il calcolo delle probabilità a posteriori relative a quel risultato.
Per l'esempio farma.com, il diagramma ad albero delle probabilità a posteriori si costruisce cosi:
























è possibile applicare la regola di decisione di Bayes utilizzando le probabilità a posteriori determinate, ottenendo i risultati riportati nele 2 tabele precedenti.

Dal momento che l'obbiettivo è quello di massimizzare il valore atteso, dai risultati collezionati nelle tabelle precedenti, appare chiaro che se il risultato è “mercato favorevole” l'alternativa ottimale è la A1, nel caso in cui si verificasse “mercato sfavorevole” l'alternativa ottimale starebbe nella strategia di ampliamento della rete distributiva A3.

Il valore atteso con test è quindi pari a:


VA8test)=P(MF)*397200+ P(MS)*295040= 362976,40


Valore atteso dell'informazione campionaria


nell'esempio considerato il valore atteso ottimo è ottenuto in corrispondenza dell'attuazione di un test, ovvero dell'indagine di mercato.

Infatti, il valore atteso senza test è pari a VA= 356000 mentre il vaore atteso ottimo con test è pari a VA(test)=362976,40.



Considrando l'ipotesi di avere un test a costo nullo è possibile quantificare il valore atteso dell'informazione fornita dal test.
In particolare , per un test assegnato, è possibile definire il valore ateso dell'informazione campionaria VAIC come segue:

VAIC=VA8test)-VA

tale valore rappresenta il massimo prezzo che il decisore dovrebbe essere disposto a pagare per poter usufruire dei risultati del test, ovvero il valore potenziale della sperimentazione.
Il valore atteso della perfetta informazione (vapi) rapresenta un limite superiore al valore atteso dell'informazione campionaria vaic.
Di conseguenza se il vapi è inferiore al costo per effettuare il test, al fine di ottenere una valutazione piu accurata del valore del test è possibile calcolare il vaic.
Il grado di efficienza del test può essere misurato mediante l'efficenza dell'informazione campionaria EIC definita come il rapporto tra VAIC e VAPI ovvero

EIC= VAIC/VAPI=0,32


alberi decisionali


Gli alberi di decisione costituiscono sia uno strumento per la rappresentazione di un problema decisionale, sia un supporto per l'analisi di una sequenza di decisione.

Costruzione dell'albero

l'albero consiste di nodi congiunti da linee dette rami o archi; in particolare ci sono tre tipi di nodi:

1) nodo decisione: rappresentano graficamente da un quadrato, è associato ad una variabile decisionale.
Gli archi uscenti da un nodo decisione rappresentano i differenti valori che la variabile può assumere.

2) nodo evento: rappresentato graficamente da un cerchio, è associato ad un evento casuale.
Gli archi uscenti rappresentano i possibili stati natura per l'evento di riferimento.

3) nodo terminale: corrispondente alle foglie dell'albero, ad ogni nodo teminale è associato il guadagno determinato dallo scenario ad esso associato, ovvero dalla sequenza di decisioni ed eventi verificatesi lungo il cammino che va dal nodo radice al nodo terminale.



























Come evidenziato in precedenza è possibile estendere l’esempio FARMA.COM, considerando le seguenti due fasi decisionali: 1) decidere se commissionare un’indagine di mercato; 2) decidere quale strategia di ampliamento adottare.
Si ipotizza che la ricerca di mercato abbia un costo di 2500,00 € e possa avere due esiti possibili: mercato favorevole oppure mercato sfavorevole. Il corrispondente albero delle decisioni associato è rappresentato in Figura




Nella prima decisione che si incontra è relativa al nodo decisione a e le alternative decisionali sono eseguire o meno un’indagine di mercato.
Il nodo b è un nodo evento che rappresenta l’evento casuale corrispondente all’esito dell’indagine di mercato. I due rami uscenti dal nodo b rappresentano i due esiti possibili dell’indagine di mercato (favorevole o sfavorevole).

La seconda decisione da prendere è rappresentata dai nodi c, d ede, con le rispettive tre alternative di ampliamento della rete distributiva, indicate in Figura con A1, A2 e A3. Successivamente, si ha la caratterizzazione della domanda di mercato una volta effettuata la scelta di ampliamento. In particolare, gli archi uscenti dai nodi f, g, h, i, l, m, n, o, p, rappresentano i possibili stati di natura in merito ai livelli di domanda (A indica domanda alta, M domanda media e B domanda bassa).
Ogni nodo terminale è inoltre caratterizzato dal guadagno monetario associato al corrispondente scenario, ovvero pari alla somma dei flussi di cassa verificatisi lungo il cammino che va dal nodo radice al nodo terminale. Ci occupiamo dapprima del nodo evento rappresentante l’esito dell’indagine di mercato. Come visto in precedenza, la probabilità di un esito favorevole dell’indagine di mercato, P(MF), è pari a 0,665, mentre la probabilità di un esito sfavorevole dell’indagine di mercato, P(MS), è pari a 0,335.
Si considerino adesso i rami terminali dell’albero. Per gli archi uscenti dai nodi evento n, o e p sono state introdotte solo le probabilità a priori per i relativi stati di natura, perché in questo caso non è stata condotta alcuna indagine di mercato per ottenere maggiori informazioni.
Invece, per i nodi eventi che si trovano a valle dell’esito dell’indagine di mercato, le probabilità associate ai corrispondenti rami saranno condizionate dall’esito dei test, ovvero è necessario calcolare P(Sj|Ei) con j = 1, 2, 3 e i = 1, 2. Tali probabilità sono le medesime calcolate con il Teorema di Bayes.

Procedura per induzione all'indietro

Una volta costruito l’albero delle decisioni e calcolate le probabilità dei rami, è necessario individuare una strategia ottimale. Tale strategia può essere individuata applicando una procedura per induzione all’indietro, la quale ha l’obiettivo di calcolare il valore atteso di tutte le alternative possibili e di scegliere l’alternativa con il massimo valore di guadagno atteso (regola di decisione di Bayes). La procedura si articola nei seguenti passi.
Passo 1. Si considerino i nodi dal lato destro dell’albero delle decisioni e si proceda a ritroso di un livello per volta verso sinistra. I nodi di ogni singolo livello sono esaminati secondo quanto descritto al passo 2 e 3, a seconda che il singolo nodo sia un nodo evento o un nodo di decisione.
Passo 2. Per ogni nodo evento, si calcola il guadagno atteso ottenuto moltiplicando il guadagno atteso di ogni ramo uscente per la probabilità associata a quel ramo e poi sommando le quantità ottenute. Il nodo evento considerato sarà etichettato con il guadagno atteso così ottenuto e sarà considerato come il guadagno atteso per il cammino che ha condotto dal nodo radice fino al nodo evento.
Passo 3. Per ogni nodo decisione, si confrontano i guadagni dei differenti rami uscenti dal nodo e si sceglie l’alternativa il cui guadagno è maggiore. I rami scartati vengono contrassegnati con delle doppie barre.

Una volta raggiunto il nodo radice la procedura è stata completata. A questo punto la strategia ottimale può essere rilevata scorrendo la progressione degli eventi sull’albero da sinistra verso destra, escludendo come percorsi indesiderati i rami contrassegnati come scartati. In particolare, seguendo i percorsi rimasti aperti da sinistra verso destra, verrà raggiunto il massimo valore monetario atteso, proprio secondo quanto enunciato dal criterio di Bayes.

Per iniziare tale procedura si considerano i nove nodi evento che precedono i 27 nodi terminali dell’albero rappresentato in Figura 3.4. Si procede quindi con il passo 2 della procedura in cui vengono esaminati i nodi evento f, g, h, i, l, m, n, o, p, q. Per ognuno di essi si calcolano i valori attesi (VA), ponendoli in grassetto accanto ai rispettivi nodi. Per brevità, qui di seguito riportiamo il calcolo dei valori attesi per i nodi f, m, o.
Nodo f: VA = 0, 64 · 477, 50 + 0, 09 · 157, 50 + 0, 27 · 277, 50 = 394, 70 €
Nodo m: VA = 0, 22 · 389, 50 + 0, 42 · 237, 50 + 0, 36 · 297, 50 = 297, 54 €
Nodo o: VA = 0, 50 · 432, 00 + 0, 20 · 200, 00 + 0, 30 · 280, 00 = 340, 00 €.
Successivamente, ci si sposta di livello andando ad esaminare i nodi decisionali c, d, e. Al passo 3 della procedura vengono eseguite le seguenti operazioni raffigurate nell'albero:
















nell'albero è rappresentata la procedura per induzione all'indietro nellesempio FARMA.COM.

Nodo c: VA(A1) = 394, 70 €; VA(A2) = 367, 58 €; VA(A3) = 350, 98 €. Poiché max{394, 70; 368, 58; 350, 98} = 394, 70 €, si sceglie l’alternativaA1.

Nodo d: VA(A1) = 271, 10 €; VA(A2) = 277, 34 €; VA(A3) = 292, 54 €. Poiché max{271, 10; 277, 34; 292, 54} = 292, 54 €, si sceglie l’alternativa A3.
Nodo e: VA(A1) = 356, 00 €; VA(A2) = 340, 00 €; VA(A3) = 334, 00 €. Poiché max{356, 00; 340, 00; 334, 00} = 356, 00 €, si sceglie l’alternativa A1.
Per ogni alternativa scelta, il valore atteso è riportato in grassetto accanto al nodo decisionale corrispondente. Inoltre, le alternative non selezionate sono evidenziate inserendo delle doppie sbarre sui rispettivi rami decisionali.
Spostandosi di un ulteriore livello si considera il nodo evento b, rappresentante l’esito dell’indagine di mercato. Ad esso, come per i precedenti nodi eventi, verrà associato il valore atteso monetario, secondo quanto descritto al passo 2.
Nodo b: VA = 0, 665 · 394, 70 + 0, 335 · 292, 54 = 360, 48 €.
Infine, ci si sposta ulteriormente a sinistra, considerando coì il nodo decisione a, per cui verrà eseguito il passo 3 secondo quanto segue:
Nodo a: Eseguire Indagine di Mercato ha VA = 360, 48 €; Non Eseguire Indagine di Mercato ha VA = 356, 00 €. Poiché max{360, 48; 356, 00} = 360, 48 €, si sceglie l’alternativa Eseguire Indagine di Mercato.
Il valore atteso è 360, 48 € e l’opzione di Non Eseguire Indagine di Mercato viene scartata. Leggendo l’albero delle decisioni da sinistra verso destra, escludendo i rami scartati, è possibile individuare la seguente strategia ottima:
• eseguire l’indagine di mercato;
• se il risultato è “mercato favorevole”, adottare la strategia di ampliamento della rete distributivaA1;
• se il risultato è “mercato sfavorevole”, adottare la strategia di ampliamento della rete distributiva A3.
Il valore atteso, incluso il costo dell’indagine di mercato, è pari a 360, 48 €. Tale soluzione coincide con quella ottenuta nel paragrafo precedente senza utilizzare l’albero delle decisioni


teoria dell'utilità


Finora si è assunto che il guadagno monetario atteso fosse una misura appropriata per valutare e confrontare differenti scelte decisionali. Tuttavia, vi sono situazioni in cui questa assunzione presenta dei limiti.
Supponiamo di chiedere ad una persona di scegliere fra le seguenti due alternative:
• ricevere con certezza una somma di denaro pari a 100000 €;
• accettare l’incertezza legata alla partecipazione ad un gioco caratterizzato da due esiti possibili: a) vincere un premio di 5000 € con una probabilità del 30%; b) ricevere un premio di 1000000 euro con una probabilità del 70%.
I valori attesi delle due alternative sono pari a 100000 € e 701500 €, rispettivamente. Sebbene la seconda alternativa sia caratterizzata da un valore atteso monetario superiore, alcune persone potrebbero preferire di ricevere con certezza 100000 € piuttosto che correre il rischio di vedere tale premio ridotto del 95%. D’altro canto, ci saranno anche persone disposte a correre tale rischio pur di tentare di raggiungere il grande risultato di diventare milionari. Tale esempio sembrerebbe, quindi, invalidare la regola di decisione di Bayes. In realtà esso pone l’accento su un elemento fondamentale del processo decisionale che è stato trascurato finora: l’attitudine del decisore al rischio.
L’analisi decisionale affronta questo aspetto inerente la soggettiva attitudine al rischio da parte del decisore, trasformando i valori monetari secondo una scala appropriata che riflette le preferenze del decisore. Tale scala è dettafunzione di utilità.
Nei paragrafi seguenti verranno illustrate le principali proprietà delle funzioni di utilità nonché i principali indici di misurazione dell’avversione al rischio.

Definizione di funzione di utilità

Assegnati due elementi a e b appartenenti ad un generico insieme Ω, si possono definire le seguenti relazioni preferenziali da parte del decisore: una preferenza debole del decisore per a rispetto a b, indicata come a>=b; una preferenza stretta per a rispetto a b, indicata con a>b; un’equivalenza per il decisore tra a e b, indicata con a~b.
Un decisore si dirà razionale nelle proprie scelte su un insieme Ω se le proprie relazioni di preferenza soddisfano le seguenti quattro proprietà.
Proprietà 3.1Per ogni a, bЄΩ,si verifica una ed una sola delle seguenti condizioni: (a>b)V(b>a)V(a ~ b).
Proprietà 3.2 per ogni a,b e c Є Ω se a>=b e b>=c allora a>=c



Supponiamo per semplicità che l’insieme Ω sia un insieme cardinalità finitar, Ω = (w1,w2, …,wr), e che ad ogni elemento sia possibile associare un premio, ovvero un numero realexk, k= 1,…,r.
Innanzitutto, la relazione di preferenza definita su Ω è definita anche sull’insiemeX=


In tal caso risulta definita una variabile aleatoria discreta L, come riportato inseguito:
L= {(p1;x1);…..;(pr;xr)}
Nel seguito, nel riferirci alla variabile aleatoria L utilizzeremo in maniera equivalente i termini lotteria semplice e premio aleatorio.
Se un decisore è razionale nelle proprie scelte su X, allora è possibile definire una funzione di utilità u : X → R per cui valgono le seguenti condizioni :



2) per ogni(L={(p1;x1);..;(pr;xr)}, L'={(p'1;x1);…..;(p'r;xr)})

La prima condizione implica che u è una funzione ordinale sull’insieme dei premi X. La seconda condizione implica che differenti lotterie semplici definite su X sono ordinate in base al valore atteso dell’utilità.
Una volta definita la funzione di utilità monetaria u(x), si procede con l’applicazione delle tecniche viste in precedenza (analisi in condizioni di rischio e di incertezza, analisi degli alberi decisionali) utilizzando il concetto di utilità in luogo del concetto di guadagno/perdita.
In particolare, ricordando che Ai, i = 1, …, m, e Sj, j = 1, …, n, rappresentano, rispettivamente, le alternative e gli stati di natura possibili, P(Sj) la probabilità associata allo stato di natura Sj e Gij il guadagno/perdita associato/a alla coppia decisione/stato natura (Ai, Sj), i = 1, …, m, j = 1,…, n, gli insiemi Ω e X conterranno r = mn elementi, definiti come segue:
per ogni i,j con i=1,…,m e j=1,…,n:
wk=(Ai,Sj) e xk=Gi,j con k=(i-1)n+j.
Per ogni decisione Ai, i = 1, …, m, è definita una lotteria Li ={(p1i;x1); …; (pri;xr)}tale che:
Pki=P(Sj)se эj ϵ(1,…,m) tale che k=(i-1)n+j;
0 altrimenti
In generale, le metodologie precedentemente descritte si applicano ad una caratterizzazione dell’insieme dei premi X data dalla tabella di decisione 3.2. Infatti, la generica riga i-esima della Tabella 3.2, relativa alla decisione Ai, i = 1,…, m, rappresenta il sottoinsieme dei premi X a probabilità non nulla nella lotteria Li.
I valori di utilità Uij , i = 1,…, m, j = 1,…, n, sono determinati in base alle seguenti relazioni:
Uij= U(Gij), i=1,…,m J=1,…,n
Tali valori vengono utilizzati nelle metodologie presentate nelle sezioni precedenti in luogo delle Gij, i = 1,…, m, j = 1,…, n.

Con riferimento all’esempio FARMA.COM, le 3 differenti alternative consentono di definire 3 lotterie semplici distinte. In questo caso, r = mn = 3 · 3 = 9. Esprimendo i guadagni in migliaia di €, all’alternativa A1 è associata la lotteria L1definita come segue:
L1={(0, 5; 480); (0, 3; 280); (0, 2; 160); (0; 432); (0; 280); (0; 200); (0; 392); (0; 300); (0; 240)}.
Allo stesso modo è possibile definire le lotterie L2 e L3 associate alle alternative A2 e A3, rispettivamente:
L2={(0; 480); (0; 280); (0; 160); (0, 5; 432); (0, 3; 280); (0, 2; 200); (0; 392); (0; 300); (0; 240)};
L3={(0; 480); (0; 280); (0; 160); (0; 432); (0; 280); (0; 200); (0, 5; 392); (0, 3; 300); (0, 2; 240)};

È possibile notare che la riga i-esima della Tabella associata all’alternativa Ai, i= 1,…,m, contiene i guadagni/perdite a cui è associata una probabilità non nulla, nella corrispondente lotteria Li, i= 1,…,m.
Supponiamo che il decisore abbia una funzione di utilità definita come segue:
u(x)=Ln (x/xmax)

dove x(max) rappresenta il massimo guadagno monetario ottenibile dal decisore, ovvero 480000,00 €. Applicando la regola di Bayes alla Tabella seguente si ha che l’alternativa ottimale è l’alternativa A3 e non l’alternativa A1, come accadeva usando i valori monetari








funzione di utilità ed avversione al rischio

Come si è visto, l’utilizzo di una funzione di utilità u(x) è giustificato dalla necessità di rappresentare adeguatamente il grado di avversione al rischio del decisore. Obiettivo del presente paragrafo è quello di introdurre le principale tecniche utilizzate per mettere in relazione l’avversione al rischio con la formulazione di una funzione di utilità.
Assegnata una funzione di utilità u(x) ed una lotteria semplice L ={(p1;x1); …; (pr;xr)},E[L] rappresenta il valore atteso del premio aleatorio, ovvero:
E[L]=Ʃ(i!,..,r)p(xi)xi

Si definisce utilità del premio aleatorio, la variabile aleatoria U definita come U=u(L). E[U] rappresenta il valore atteso dell’utilità del premio aleatorio L, ovvero:
E[U]=Ʃ(i=1,..,r)p(xi)u(xi)
La definizione del grado di avversione al rischio del decisore si basa sulla determinazione di quale sia il corrispettivo che il decisore è disposto a pagare pur di essere esonerato dall’incertezza. Tale quantità è detta premio per il rischio χ e deve soddisfare la seguente condizione che chiameremo equazione numero1
U(E[L]- χ)= E[U]

L’utilità del valore atteso del premio aleatorio meno il premio per il rischio (u(E[L]–χ)) deve quindi uguagliare il valore atteso dell’utilità del premio aleatorio (E[U]). La quantità E[L] –χ è definita equivalente certo del premio aleatorio percepito dal decisore.
Assegnata una lotteria L, l’uguaglianza di prima stabilisce che per il decisore è indifferente ricevere con certezza il premio E[L] –χ oppure percepire un valore medio pari a E[L]. Al crescere del valore del premio per il rischio χ, cresce l’avversione al rischio del decisore. Infatti, pensando al premio in termini monetari, il decisore avverso al rischio è disposto a rinunciare ad una significativa parte del guadagno medio E[L] pur di evitare il rischio connesso all’aleatorietà della lotteria L.
In generale, l’utilità è sempre considerata una funzione crescente del premio x. Ciò è intuitivamente giustificato dalla affermazione secondo cui generalmente ricchezze maggiori generano sempre soddisfazione maggiore. Supponendo, pertanto, che il premio per il rischio χ assuma sempre valori positivi, allora risulta valida la seguente disuguaglianza di Jensen:

U(E[L])>E[U]

Questa condizione stabilisce che l’utilità di un premio certo è maggiore del valore atteso dell’utilità associata alla partecipazione ad una lotteria che, pure, abbia vincita media pari al premio certo. Di conseguenza, se χ è positivo, la funzione di utilità sarà concava.
Qualora il premio per il rischio sia negativo, l’equivalente certo risulta pari al valore atteso del premio aleatorio incrementato di una quantità χ. In questo caso il decisore è disposto a pagare pur di sopportare un rischio, ovvero la funzione di utilità è convessa ed il decisore si dirà propenso al rischio.
Riassumendo, l’avversione al rischio del decisore è relazionata alla concavità della funzione di utilità secondo quanto segue:
• se la funzione di utilità è concava, il decisore è avverso al rischio;
• se la funzione di utilità è convessa, il decisore è propenso al rischio;
• se la funzione di utilità è lineare (ovvero sia concava che convessa), il decisore è indifferente al rischio.
Sulla base di tali osservazioni, appare ragionevole costruire una misura del grado di avversione al rischio di un decisore basata su quanto la sua funzione di utilità è concava, ovvero sull’andamento della derivata seconda. Supponendo che il valore x si discosti poco dal valore E[L], si può calcolare, intorno a tale valore atteso, l’approssimazione di Taylor della funzione di utilità:



Il valore atteso di entrambi i membri della precedente equazione è dato da:


Sviluppando in serie di Taylor anche l’utilità dell’equivalente certo intorno al valore χ = 0 e supponendo di trascurare il termine del secondo ordine, si ha:



Dovendo valere la equazione numero1, si possono eguagliare le due approssimazioni trovate per ottenere una espressione approssimata del premio per il rischio:






Tale relazione evidenzia che il premio per il rischio è proporzionale alla varianza del premio aleatorio ed all’opposto del rapporto tra la derivata seconda e la derivata prima della funzione di utilità. Il rapporto

è denominato indice di avversione assoluta al rischio di Arrow-Pratt.
Per calcolare come varia l’avversione al rischio del decisore a fronte di variazioni dell’ammontare del premio, è utilizzato l’indice di avversione relativa al rischio IARrottenuto moltiplicando per x l’indice di Arrow-Pratt:




Entrambi gli indici assumono valore positivo in un soggetto avverso al rischio (funzione concava), mentre sono negativi per un soggetto propenso al rischio (funzione convessa).

Con riferimento all’esempio FARMA.COM, avendo scelto la funzione di utilità concava:




il decisore è avverso al rischio. Tale funzione di utilità è caratterizzata dal seguente indice di avversione assoluta al rischio, crescente rispetto ad x> 0:




e da un indice relativo di avversione al rischio costante rispetto a x, ovvero:

IARr(x) = 1.

Dal momento che la funzione di utilità è concava e crescente, entrambi gli indici sono positivi.
La seguente Tabella evidenzia, per le 3 lotterie relative all’esempio FARMA.COM, i valori della varianza, del premio per il rischio, dell’equivalente certo, dell’indice assoluto di Arrow-Pratt e dell’utilità dell’equivalente certo. In particolare, il decisore risulta avverso al rischio in misura similare nelle 3 lotterie. Infatti, il valore di IARanelle tre lotterie è confrontabile: ciò è giustificato dal fatto per valori di


 compresi tra 0, 70 e 0, 75 l’utilità marginale cresce molto poco. Pertanto, il premio per il rischio χ segue sostanzialmente l’andamento della varianza, ovvero il premio per il rischio è maggiore in corrispondenza della lotteria L1, poiché, vista la notevole variabilità intorno al valor medio, il decisore è disposto a pagare un prezzo molto alto pur di liberarsi dall’incertezza.



In ognuna delle 3 lotterie il premio per il rischio determina un equivalente certo sempre molto vicino al valor medio (a meno di errori introdotti dall’approssimazione di Taylor) e l’utilità dell’equivalente certo è pressoché uguale all’utilità media della tabella Ciò è perfettamente in linea con la definizione di premio per il rischio data dalla condizione.

È possibile effettuare il confronto del grado di avversione al rischio da parte di due decisori caratterizzati da due funzioni di utilità u(x) e v(x) differenti, sfruttando il seguente Teorema di Arrow-Pratt.
Teorema di Arrow-Pratt Assegnati due decisori con funzione di utilità u(x) e v(x) differenti, le seguenti tre condizioni sono equivalenti:
1. Esiste una funzione f(x) sempre crescente e concava tale che u(x) =f(v(x)).
2. Per ogni lotteria semplice il premio di rischio richiesto dal decisore con utilità u(x) è maggiore del premio di rischio del decisore con utilità v(x).
3. Il coefficiente assoluto di avversione al rischio associato a u(x) è sempre maggiore di quello associato a v(x).
Se le condizioni su esposte sussistono, si afferma che il decisore dotato di utilità u(x) è più avverso al rischio di quello dotato di utilità v(x).

Supponiamo per l’esempio FARMA.COM di dover confrontare il grado di avversione al rischio di due decisori caratterizzati dalle funzioni di utilità riportate in quanto segue:





Considerando la seguente funzione f(x) concava e crescente: f(x) = –e–x

risulta verificata la condizione 1 del Teorema di Arrow-Pratt (ovverof(v(x)) = u(x)).
Le funzioni di utilità u(x) e v(x) sono caratterizzate dai seguenti indici di avversione assoluta al rischio:






Quindi per ogni x > 0 risulta verificata la terza condizione del Teorema di Arrow-Pratt, ovvero l’indice di avversione assoluta al rischio del decisore associato alla funzione u(x) è sempre maggiore dell’indice di avversione assoluta al rischio del decisore associato alla funzione v(x).
Assegnata una lotteria L risultano determinati anche i valori di E[L] (ovvero i valori di VA(Ai) riportato e E[L] (vedi Tabella). Dalla positività della varianza e sfruttando la condizione (3.9), si ricava che anche la seconda condizione del Teorema di Arrow-Pratt risulta essere verificata, ovvero il premio di rischio χ1 associato al decisore con funzione u(x) è maggiore del premio di rischio χ2 associato al secondo decisore. Si può, quindi, affermare che il decisore associato alla funzione u(x) risulta più avverso al rischio del decisore associato a v(x). Tale risultato è confermato dai dati, relativi alle tre lotterie dell’esempio FARMA.COM, riportati nella Tabella







forme funzionali per l'utilità

La determinazione della forma funzionale della funzione utilità può avvenire attraverso un procedimento numerico di interpolazione funzionale, da applicare a valle della determinazione di un insieme finito di coppie (x,u(x)). La procedura generale si basa sulla definizione numero1 del premio per il rischio.
Assegnato un insieme di premi X, si definiscano il minimo ed il massimo valore della funzione di utilità secondo quanto segue:

• u(xmin) = 0, con xmin = min(X);
• u(xmax) = 1, con xmax= max(X).
Per caratterizzare i valori u(x) per tutti i premi x compresi nell’intervallo (xmin, xmax), si procede come segue. Si scelgono un numero ritenuto adeguato di Q valori di utilità distinti (u1, u2, …, uQ) con uk∈ (0, 1), (k = 1,…, Q). A questo punto la funzione di utilità è campionata secondo la seguente procedura iterativa.
Passo 1. Per ogni valore uk si sottopone al decisore la seguente domanda: qual è il valore x tale per cui per il decisore le seguenti alternative sono indifferenti:
(a.1) Ricevere con certezza il premio di valore x.
(a.2) Accettare l’incertezza legata ad una lotteria caratterizzata da una probabilità uk di ricevere il premio xmax e una probabilità 1 –ukdi ricevere la somma xmin.
Passo 2. Poiché x rappresenta l’equivalente certo, applicando la (3.6) si ottiene che:
u(x) =uku(xmax)+ (1-uk)u(xmin),
ovvero, si pone u(x) =uk

Una volta determinato il valore monetario di utilità u(x) per Qvalori della successione, l’espressione analitica della funzioneu(x) è ottenuta mediante un procedimento numerico di interpolazione funzionale.

Con riferimento all’esempio FARMA.COM si ha che xmin è pari a 160000, 00 € e xmax è pari a 480000,00 €. Si supponga di interrogare il decisore su una successione di tre valori distinti di utilità uk, (k = 1, 2, 3) e di ottenere le risposte riportate nella Tabella 1 In questo caso, la funzione utilità indica un’attitudine propensa al rischio (Figura seguente). Se invece il decisore avesse fornito le valutazioni riportate nella Tabella 2, la funzione di utilità ottenuta per interpolazione avrebbe indicato una avversione al rischio

Tabella 1:Valori di utilità per decisore propenso al rischio nell’esempio FARMA.COM

UK
X
0,25
280000
0,50
384000
0,75
448000

Funzione di utilità relativa all’esempio FARMA.COM, con decisore propenso al rischio












Tabella2:Valori di utilità per il decisore avverso al rischio nell’esempio FARMA.COM

UK
X
0,25
192000
0,50
250000
0,75
336000


Funzione di utilità relativa all’esempio FARMA.COM, con decisore avverso al rischio.











La precedente procedura di determinazione della funzione di utilità u(x) potrebbe risultare di difficile applicazione. Infatti, per il decisore potrebbe risultare difficile scegliere un valore adeguato da assegnare al premio, in modo tale che le due alternative proposte risultino indifferenti. Pertanto, a volte si usa un approccio alternativo. Si suppone che la funzione di utilità abbia una specifica espressione matematica e che il decisore sia avverso al rischio, ovvero si considerano funzioni crescenti per x > 0 e concave.
Il campo applicativo, in cui la caratterizzazione del grado di avversione al rischio ha ricevuto il maggior interesse, è l’ambito finanziario. Per tale motivo nel seguito presentiamo le principali forme funzionali adottate dalla letteratura finanziaria. In tale ambito, una forma funzionale ritenuta notevolmente duttile è la seguente:




Una funzione con esponente reale, per essere ben definita e concava deve avere base positiva e derivata seconda negativa. Nel caso della funzione (3.10) devono, quindi, valere le seguenti condizioni:

α +γx > 0,β > 0

Gli indici di avversione al rischio (assoluto e relativo), relativi alla funzione di utilità (3.10), sono riportati in quanto segue e sono delle funzioni iperboliche in x:





Per tale motivo la funzione di utilità (3.10) è definita HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion). La duttilità delle funzioni HARA deriva dal fatto che, fissando opportunamente i valori dei parametri α, β e γ, si possono ricavare le principali funzioni di utilità usate in letteratura. Nella tabella seguenteè riportata la caratterizzazione di tali funzioni rispetto alla definizione (3.10).








Una classificazione più generale delle funzioni di utilità è effettuata in letteratura in base alla crescenza o decrescenza degli indici di avversione al rischio IARa e IARr. Qui di seguito ne riportiamo i dettagli.
• Funzioni IRRA (dall’acronimo Increasing Relative Risk Aversion). Sono funzioni di utilità con indice di avversione relativa al rischio crescente rispetto a x. Le funzioni HARA con β positivo ed α> 0 appartengono a questa famiglia.
• Funzioni IARA (dall’acronimo Increasing Absolute Risk Aversion). Sono funzioni di utilità con indice di avversione assoluta al rischio crescente rispetto a x. Le funzioni HARA
con β positivo ed γ < 0 appartengono a questa famiglia.
• Funzioni DRRA (dall’acronimo Decreasing Relative Risk Aversion). Sono funzioni di utilità con indice di avversione relativa al rischio decrescente rispetto a x. Le funzioni HARA con β positivo ed α < 0 appartengono a questa famiglia.
• Funzioni DARA (dall’acronimo Decreasing Absolute Risk Aversion). Sono funzioni di utilità con indice di avversione assoluta al rischio decrescente rispetto a x. Le funzioni HARA con β positivo ed γ > 0 appartengono a questa famiglia.