• algoritmo di Newton
• decomposizione a valori singolari
• iterazioni di Newton modificate
• matrici multilivello
• matrici multilivello con struttura
• miglioramento delle immagini
• operatori displacement
• prodotto di Kronecker
• prodotto tensoriale
• rango di dislocamento
• rango tensoriale
• SVD

In questa tesi forniremo delle metodologie per dare un’approssimazione ottima, che chiameremo P, di una data matrice A, tale che P sia espressa come somma di r addendi ciascuno dei quali è il prodotto di Kronecker di due matrici. L’intero r che viene assegnato è detto rango tensoriale di P. Nel caso in cui la matrice A sia multilivello di Toeplitz vedremo che l’algoritmo per trovare P è particolarmente efficiente.
Tali metodologie sono basate sull’algoritmo per la decomposizione a valori singolari e permettono di costruire matrici P meglio condizionate di A attraverso un processo di regolarizzazione.
Abbiamo fatto inoltre delle valutazioni riguardo al rango di dislocamento di A, vale a dire il rango della matrice AZ-ZA, dove Z è la matrice che ha tutti 1 nella sottodiagonale e 0 altrove. Matrici con rango di dislocamento basso intervengono nello studio delle inverse delle matrici di Toeplitz. Abbiamo poi introdotto la rappresentazione di dislocamento di rango k di una matrice A che permette di scrivere A come somma di k termini, ciascuno dei quali è il prodotto tra una matrice triangolare inferiore di Toeplitz e una triangolare superiore di Toeplitz. Se A è non singolare, la matrice inversa di A ammette una rappresentazione analoga.
Abbiamo inoltre presentato degli algoritmi per invertire la matrice A basati sulle iterazioni di Newton. Il primo di essi è dato dalle iterazioni di Newton modificate in modo tale che l’approssimazione dell’inversa, iterazione per iterazione, abbia rango di dislocamento uguale a quello di A; il secondo si basa sul fatto che se l’approssimazione di A è ottima allora la sua inversa mantiene la struttura in somme di prodotti di Kronecker. Esso è dato dalle iterazioni di Newton modificate in modo tale che l’approssimazione dell’inversa abbia rango tensoriale basso.
A fronte di alcune analisi numeriche abbiamo inoltre sperimentato un ulteriore algoritmo che fornisce un’approssimazione dell’inversa di P a rango tensoriale basso e i cui fattori di Kronecker, iterazione per iterazione, abbiano rango di dislocamento uguale a quello massimo dei fattori di Kronecker di P.
Sono inoltre presentati delle possibili applicazioni, come il miglioramento delle immagini bidimensionali e di quelle tridimensionali.